初高中数学衔接---二次函数

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1、初高中数学衔接------二次函数部分知识梳理知识点1二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)

2、值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0a<0y∈[，＋∞)y∈(－∞，]a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈(－∞，－]时递减，x∈[－，＋∞)时递增x∈(－∞，－]时递增，x∈[－，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：(－，)3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,

3、0)，

4、M1M2

5、＝

6、x1－x2

7、＝.第7页共7页知识点2二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是R;当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R;当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根的解集为或者是。(初中没有的)知识点3一元二次方程实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令（）（同理讨论的结论）(1)x1<α,x2<α,则;(2)x1>α,x2>α,则(3)αb(α

8、x)=0在区间(α,b)内只有一个实根，则有点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.(初中没有的)知识点4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴在区

9、间内，则是函数的最小值（）或最大值（），再比较的大小决定函数的最大（小）值。点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。第7页共7页（2）二次函数在闭区间上的最值的讨论的基点是对称轴与区间的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数的符号对抛物线开口及结论的影响。题型一　求二次函数的解析式例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解　方法一　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a

10、≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.方法二　设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三　依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析

11、式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高　二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).题型二二次函数的单调性例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(

12、x

13、)的单调区间.　解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[

14、－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，