二次函数 初高中知识衔接

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1、二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质作图(1)(2)(3)问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818y＝x2y＝2x2图1xOy再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象

2、各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？图2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系,可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2所示），从函数不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点

3、．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a

4、＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．上述二次函数的性质可以分别通过图3和图4直观地表示出来．因此，在解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．xyOx＝－A图3xyOx＝－A图4函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领

5、：（1）确定开口方向：由二次项系数a决定（2）确定对称轴：对称轴方程为（3）确定图象与x轴的交点情况(解的个数)（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）（5）由以上各要素出草图。例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那

6、么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．例4已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移

7、2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函数y＝－x2－2

8、x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最