【7A文】导数的概念

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1、【MeiWei81-优质实用版文档】第二章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。本章教学重点与难点1．导数概念及其求导法则；2．隐函数的导数；3．复合函数求导；4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算§2.1导数的概念教学目的与要求

2、1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1.函数导数的概念、基本初等函数的导数2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．1．瞬

3、时速度思考：已知一质点的运动规律为，为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.　不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代

4、不匀”.设质点运动的路程是时间的函数，则质点在到这段时间内的平均速度为【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】可以看出它是质点在时刻速度的一个近似值，越小，平均速度与时刻的瞬时速度越接近.故当时，平均速度就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为（1）思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自由落体运动的运动方程为：，按照上面的公式，可知自由落体运动在时刻的瞬时速度为。这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出

5、答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长趋于0，也趋向于0.（如图所示）（2）求切线的斜率设曲线C为函数的图形，，则，点为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】根据切线的定义可知，当点N

6、沿曲线C趋于M时，即，割线的斜率趋向于切线的斜率。也就是说，如果时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为，即（2）3.边际成本设某产品的成本C是产量G的函数，试确定产量为个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：表示由产量变到时的平均成本，如果极限（3）存在，则此极限就表示产量为个单位时成本的变化率或边际成本。思考：上述三个问题的结果有没有共同点？上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如（4）的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但

7、最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义1．导数的概念定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量（点仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量，如果极限存在，则这个极限叫做函数在点处的导数，记为当函数在点处的导数存在时，就说函数在点处可导，否则就说在点处不可导.特别地，当时，，为了方便起见，有时就说在点处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有【MeiWe