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1、莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@gxu.edu.cn微积分链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习第二章极限与连续数列极限函数极限变量极限无穷大与无穷小极限的运算法则两个重要的极限函数的连续性2.7函数的连续性函数连续性的定义函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述：当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的
2、跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义注意例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例3证例4证明证只须证明二、函数的间断点1.跳跃间断点例5解2.可去间断点例6解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例7解
3、例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:例9解例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解三、连续函数的运算法则定理证明直接用极限的运算法则就可以了如：[解]非初等函数连续性问题举例[解]四、在区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明
4、地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。1.有界性定理：定理(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.2.最大最小值定理（最值定理）：注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.3.零点定理：4.介值定理：推论：f(x)g(x)[证]构造辅助函数介值定理的证明例1证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例2证由零点定理,例3证由零点定理知总之注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命
5、题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。则有且[解]试算根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根[证][证][证][证]矛盾！五、利用函数性连续求函数
6、极限闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。注意定理七、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用
7、介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型oyx振荡型思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数注意定理七、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定
8、理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型oyx振荡型思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数思考题解答不正确.例函数
