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《人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法第八节多元函数的极值与最值一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1 二元函数极值的定义设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；(1)(2)(3)例1函数处有极小值．在例２函数处有极大值．在处有极大值．在例３处无极值．在函数2多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.证不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意都有,故当时，有说明一元函数在处有极大值，必有;类似地可
2、证.推广如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为，.;仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？驻点极值点注意：定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，.例如点是函数的驻点，但不是极值点又，令，，，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时有极大值，当时有极小值；（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．（2）时没有极值；求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2B
3、AC-的符号，再判定是否是极值.例4求函数 的极值．解求得驻点，在 点处所以，在 处函数没有极值．在 点处又所以，在 处函数有极大值．且求最值的一般方法：1）将函数在D内的所有驻点处的函数值2）求D的边界上的最大值和最小值3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3多元函数的最值解先求函数在D内的驻点，如图,例5求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解方程组再求在边界上的最值，得区域内唯一驻点,且在边界和上,在边界上，即于是,由得比较后可知为最大值,
4、为最小值.解由例6求的最大值和最小值.得驻点和,即边界上的值为零.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.因为所以最大值为，最小值为例7某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？此水箱的用料面积解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x>0,y>0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带
5、达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值．要找函数在条件下的可能极值点，其中为某一常数，可由先构造函数解出，其中就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数在条件，下的极值，先构造函数其中均为常数，可由偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.例8将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23=为最大.解解得唯一驻点)2
6、,4,6(，则故最大值为解设为椭球面上一点,例9在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.令,则，，过的切平面方程为该切平面在三个轴上的截距各为化简为,所围四面体的体积,在条件下求的最小值,令,由可得即当切点坐标为 时四面体的体积最小.
