统计基础一：概率与概率分布

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1、概率与概率分布在对随机现象的研究和各种决策中,常需用样本(数据)提供的信息去推断总体的数量规律性,即作出有关总体的某种结论.推断统计学是建立在概率与概率分布基础的理论基础上的统计方法,因而有必要了其有关知识一、概率基础---随机实验，样本空间，随机事件---概率：古典概率，几何概率，公理化定义---条件概率---随机变量---常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态---数学期望、方差在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、

2、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。集合表示：例：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果结果出现5点，则事件A发生了。1、随机实验，样本空间，随机事件2、事件的关系与运算事件的关系表示含义加（并）表示事件A与B至少有一个发生A∪B或A+B减（差）表示事件A发生而事件B不发生A-B乘（交）表示事件A与B两个都发生A∩B或AB对立（逆）表示A的对立事件，即“A不发生”（AA=φ，A+A=S）包含与相等表示事件A发生必要导致事件B发生B⊃A或A⊂BA=B互不相容(互斥)表示事件A与事件B不能同时发

3、生（即AB=φ）SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B例抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生事件的运算法则交换律:A∪B=B∪AAB=BA结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)对偶律:集合的运算法则都适用,常用的有3、概率的定义物理学家吴大猷：误用概率的笑话一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这

4、种手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。估计概率方法一）概率的古典定义1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率.如果试验E满足(1)它的结果只有有限种.(2)且每种结果发生的可能性相同.(3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为：P(A)=k/n2、古典概率模型中事件的概率求法∵试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个:1,2,…,n,∴Ω={1}∪{2}∪…∪{n}{i},i=

5、1,2,…n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n∴P({i})=1/ni=1,2,…因此若事件A包含k个基本事件，于是P(A)=k(1/n)=k/n3、古典概率模型的例子例1掷一颗均匀骰子.设:A表示所掷结果为“四点或五点”.B表示所掷结果为“偶数点”.求:P(A)和P(B)解:n=6，kA=2∴P(A)=2/6=1/3kB=3∴P(B)=3/6=1/2例2货架上有外观相同的商品15件,其中1

6、2件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率.解:从15件商品中取出2商品,共有=105种取法,且每种取法都是等可能的.∴n=105令A={两件商品都来自产地甲}kA==66令B={两件商品都来自产地乙}kB==3而事件{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥。∴它包含基本事件数=66+3=69∴所求概率=69/105=23/35例3：有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只,（1）每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(

7、放回抽样).（2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}.求：P(A),P(B),P(C),P(D)解:（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法.∴取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.∵第一

8、次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法.∴取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即：kA=16∴P(A)=16/36=4/9令E={抽到两只