概率论与数理统计基础（一些重要的概率分布

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1、概率论与数理统计基础（三）一些重要的概率分布对于连续型随机变量，正态分布是最重要的一种概率分布。经验表明：对于其值依赖于众多因素，且每个因素均产生或正或负微弱影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。比如体重这个随机变量就近似服从正态分布。还有人的身高、考试分数都近似地服从正态分布。正态分布NormalDistribution1.钟型，对称2.随机变量值域无限。均值Meanxf(x)了解正态分布的特征掌握与正态分布有关的概率计算正态分布概率密度函数f(x)：随机变量x的概率密度函数x：随机变量的

2、值(-1.5)(3)P(z<-2)(4)P(z>-1)(5)P(-2.33

3、2）低于700元的概率；（3）在900—1100元之间的概率。例：某年A省理科考生的高考成绩服从平均分=500分，标准差=100分的正态分布，求：（1）考生的考分低于500分的概率；（2）设考生的考分为X，问X为何值才能使75%的考生的考分低于这一值？（3）问X为何值才能使90%的考生的考分高于这一值？用标准差判断概率在均值±1个标准差(1x)之间取值的概率为68.27%在均值±2个标准差(2x)之间取值的概率为95.45%在均值±3个标准差(3x)之间取值的概率为99.73%抽样分布定理正态分布

4、的再生定理当总体服从正态分布时（数学期望值与方差已知），样本平均数也服从正态分布。引例：居住在湘潭的所有居民的身高服从正态分布，从中随机抽取100名湘潭人作为一个样本（可以抽取到若干个由100名湘潭人组成的样本），样本容量n=100,样本值有100个（身高值）。然后计算抽取的样本的平均身高。中心极限定理前面已经分析了来自正态总体的样本，其样本均值也服从正态分布。但是如果样本来自非正态总体(即该总体不服从正态分布）。则有下面的定理：中心极限定理CentralLimitTheorem(CLT)如果样本容量足够大(n

5、30)...抽样分布近乎服从正态分布总体标准差未知时样本均值的分布①总体服从正态分布，因此样本均值也服从正态分布。如果总体均值和总体方差已知，则②总体标准差未知（仅知道总体均值）用样本标准差代替总体标准差，则有结论：为什么自由度为n-1?（见教材P64页）t分布有什么特点呢？Zt0t(df=5)标准正态分布t(df=13)钟形对称尾部较大（1）t分布关于t=0对称。（2）当样本容量很大时，接近正态分布（方差接近1）（3）与标准正态分布相同，t分布的均值为0，但方差为k/（k-2）（注：t分布方差总比标准正态分

6、布方差要大，k为自由度）例题（在第五章讲解）某大学从该校学生中随机抽取25人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟，样本方差S2=36。试以95%的置信水平估计该大学的学生平均每天参加体育锻炼的时间（假定x～N（μ，σ2））。解：已知n=25，x～N（μ，σ2），σ2未知则样本统计量服从t分布总体均值的置信区间为即为[26－2.48，26+2.48]=[23.52，28.48]故全校学生平均每天参加体育锻炼的时间在23.52~28.48分钟之间。