第 三章 概率论与数理统计基础(概率分布的特征)

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1、概率论与数理统计基础（二）概率分布的数字特征1一、概率分布的数字特征1、期望考虑这样一个例子：设射击手甲与乙在同样条件下射击，其命中环数是一个随机变量。假设根据历史记录得到他们分别有下面的命中概率分布表。试问：如何评定甲、乙的射击水平。X甲10987650P(X)0.50.20.10.10.050.050Y乙10987650P(Y)0.10.10.10.10.20.20.22假设甲射击手发了100颗子弹由于他命中10环的概率为0.5，那么约有50次命中10环，同理，约有20次命中9环，……平均命中环数为：同理可得E(Y)=5

2、.63期望是集中趋势的度量，反映平均意义⑴离散型随机变量X的期望值如果X取有限个值x1,x2,…xn如果X取无限个值x1,x2,…xn…4例子随机抛一个骰子，求朝上一面的点数的期望值。E(X)=1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6=21/6=3.5点数x概率p(x)x.p(x)11/61/621/62/631/63/641/64/651/65/661/66/65在电脑/打印机销售一例中，电脑销售量的期望值为E(X)=0*0.08+1*0.12+2*0.24+3*0.24+4*0.32=2.60同理，可得打印机销售量

3、的期望值为E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.23+3*0.27+4*0.23=2.35.6⑵连续型随机变量X的期望值7⑶随机变量函数的期望离散型：连续型：8⑷条件期望9例子：在个人电脑/打印机一例中，计算E(Y

4、X=2).即求每天售出2台电脑的条件下，销售打印机的条件期望。E(Y

5、X=2)=0*f(Y=0

6、X=2)+1*f(Y=1

7、X=2)+2*f(Y=2

8、X=2)+3*f(Y=3

9、X=2)+4*f(Y=4

10、X=2)=1.875（条件期望）注：f(Y=1

11、X=2)=E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.2

12、3+3*0.27+4*0.23=2.35（非条件期望）结论：条件期望一般不等于非条件期望。当然，如果两个变量相互独立，那么条件期望与非条件期望相同。10⑸二元随机变量函数的情况（多元概率分布的期望值）Z=XY11例子：继续个人电脑/打印机销售一例。E(XY)==1*1*0.05+1*2*0.06+1*3*0.02+1*4*0.01+…4*0*0.01+4*1*0.01+4*2*0.01+4*3*0.05+4*4*0.15=7.06（取每一对X和Y的值，乘以它们的联合概率，然后加总）12⑹期望的性质E(C)=CC为常数E(CX

13、)=CE(X)E(X+C)=E(X)+CE(X+Y)=E(X)+E(Y)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)132、方差期望值仅仅给出了随机变量的重心（或取值的平均程度），但没有表明单个值在均值附近是如何分布或分散的。度量这种分散程度的最常用工具就是方差（variance).考察两组成绩甲组：40，50，60，70，80，90，100乙组：60，60，70，70，70，80，80甲组平均成绩：70乙组平均成绩：7014方差是离散程度的度量1516方差的性质17变异系数由于标准差(或方差）与度量单位有关，因此如果度

14、量单位不同，很难对两个或多个标准差进行比较。为了解决这个问题，引入变异系数。无量纲（纯数值）例题：期中考试中，A班实行百分制，其平均分为80分，标准差为10，B班实行10分制，平均分为7.8，标准差为1.2，哪个班的成绩更好呢？18Xf(X)A均值大小的图示判别B19Xf(X)AB小方差大方差方差大小的图示判别203、协方差协方差是一种特殊形式的期望值，度量两个随机变量如何共同变动。如果两个变量同方向变动，则协方差为正；如果两个变量反方向变动，则协方差为负；如果变量之间不存在线性关系，则协方差为0.21例子：再一次回到个人电

15、脑/打印机销售一例。计算电脑销售量（X)和打印机销售量（Y）的协方差。COV(X,Y)==7.06-2.60*2.35=0.95表明电脑销售量和计算机销售量是正相关的。22协方差的性质23度量两个随机变量的线性关系4、相关系数24相关系数的性质即若两个变量的相关系数为0，并不意味这它们相互独立，它们可能存在非线性关系。如Y=X2.25正线性相关负线性相关非线性相关不相关典型相关关系图示26描述概率分布形状的数字特征5、偏度（S）和峰度(K)对称右偏左偏27低峰尖峰常峰28偏度和峰度的计算公式S如果为正，则概率密度函数为正偏或

16、右偏S如果为负，则概率密度函数为负偏或左偏K<3称为低峰，K>3称为高峰，K=3称为常峰296、样本数据所体现的随机变量的数字特征引例：要想了解某一时点上居住在湘潭所有居民的平均收入，显然需要知道湘潭居民总体的信息。但实际上很难收集到总体中每个成员的信息（收入水平）。实践中所能做到的是从总