概率论与数理统计几种重要的分布

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1、第四章几种重要的分布§4.1二项分布§4.2超几何分布§4.3泊松分布§4.4指数分布§4.6正态分布一、两点分布2、数字特征1、定义§4.1二项分布二、二项分布1、定义2、数字特征例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二项分布，n=6,p=0.75。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解：X服从二项分布，n=10,p=0.2。利用二项分布公式计算例3、10部

2、机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00例4、一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为0.1的概率。解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20,p=0.03。利用二项分布公式计算3、二项分布的最可能值例5、某批产品有80％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努利公式验证。解：

3、一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以k=3,4时P{X=k}最大。X01234P0.00160.02560.15360.40960.4096n很大时，频率为概率的可能最大证明：例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为60％的概率。例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展

4、览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。§4.2超几何分布1、定义2、数字特征3、超几何分布与二项分布的关系证明：例3、一大批种子的发芽率为90％，从中任取10粒，求(1)播种后恰好有8粒发芽的概率。(2)播种后不少于8粒发芽的概率。解设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二项分布B（10，0.9）。几何分布1、定义在无穷次贝努利试验中，事件A首

5、次发生时所需要的试验次数X的分布。2、数字特征3、无记忆性证明：例1、(离散随机等待时间)每张彩票中奖概率0.01，某人每次只买一张。(1)他买到第k张才中奖的概率，(2)买了8张都没有中奖的概率。解.买到第一张中奖彩票需要的次数X~G(0.01)1、定义2、数字特征§4.3Poisson(泊松)分布3、泊松分布与二项分布的关系定理说明，对于成功率为p的n重贝努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功的次数X近似服从参数的泊松分布。例1、X服从poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)，P(X=20)。一般当n≥

6、20，p≤0.05时可以近似计算例2、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数0123456频数14272620733解:λ=14×0+27×1+26×2+20×3+7×4+3×5+3×6)/100=2疵点数0123456频数14272620733频率0.140.270.260.20.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361例3、一袋重量为500克的种子约10000粒，假设该袋种子的发芽率为98.5

7、%，从中任取100粒进行试验，计算恰好有1粒没有发芽的概率。解1：设100粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。N＝10000，N1＝9850，n＝100，由于N很大，n＝100相对于N很小，X可用二项分布近似计算解2：n＝100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似计算例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解:设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，4、Poisson分布的最

8、可能值超几何分布二项分布泊松分布超几何分布、二项分布、泊松分布的关系X01pk1-pp只有两个互逆结果的n次独立重复试验(n+1)p二项分布的逼近式无穷次伯努利试验中A首次发生的试验次数对含有两类元素的有限总体进行不放