概率论中几种常用重要分布

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1、概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。关键词1一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即(0－1)分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数——一维随机变数。定义1.1设为一个随机变数，

2、令.这样规定的函数的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数的分布函数。有的随机函数可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值使得称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。（1）可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数,使。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数来确定。（2）可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数，，使.称这种随机变数的分布为两点分布。如果，那么，。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数及一个在区间（0,1）内的值来

3、确定。特殊地，当依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值来确定。（3）可能取的值只有个：（这些值互不相同），且，取每个值得概率都是，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布可以用一个正整数及个不同的常数来确定。定义1.2若随机变量的概率分布为其中，则称服从参数为的（0-1）分布。（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。定义1.3若随机变量的概率分布为其中为正整数，，则称服从参数为的二项分布，记

4、作由二项分布的导出可知，该种分布用于描述重伯努利试验中发生的概率为.在研究某事件发生的概率时，我们对事件所在的试验进行独立重复观察，统计出事件发生的次数。这里是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。在二项分布中，如果，那么只能取0或1，这是显然有，也可以表示成01这个分布就是上面介绍的（0-1）分布，它是二项分布的特例。在讨论抛掷均匀硬币的例子中，随机变量的分布列为01它就是（0-1）分布当时的特例。定义1.4若随机变量的概率分布为其中为常数，则称服从参数为的泊松分布，记作.泊松分布是作为

5、二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当很大时，很小，适中时，分布就近似于分布，其中。由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。。定理1.1（泊松定理）在重贝努力试验中，事件在一次实验中出现的概率为（与实验总数有关），如果当时，（常数），则有证明记，则对于任一固定的，显然有还有从而对任意（）成立，定理得证。2连续性随机变量分布以上对离散型随机变量做了一些研究，下面将要研究另一类

6、十分重要而且常见的随机变量——连续型随机变量定义2.1若是随机变量，是它的分布函数，如果存在函数，使对任意的，有则称对连续型随机变量，相应的为连续型分布函数，同时称是的概率密度函数或简称为密度。由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数必具有下述性质：（1）（2）定义2.2若随机变量的概率分布为为密度连续型分布，称这种分布为正态分布,记作下面验证是一个密度函数。因为这时为显然，此外还可以验证有为此，可令，则这时有现在作坐标变换这时，变换的雅可比式，而所以有于是这说明给出的的确是一个密度函数，这个密度函数成为正态密度。正态分布是德国数学家和天文学家棣莫弗于1733年在求二项分布的渐进公式时

7、得到的．棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理表明正态分布是二项分布的极限分布．正态分布的密度函数曲线是钟型曲线，它的“钟型”特征与实际中很多随机变“中间大，两头小”的分布规律相吻合．人的各种生理指标，一个班的一次考试成绩，测量的误差等均服从或近似服从正态分布．在许多实际问题中，遇到的随机变数是受到许多互不相干扰的随机因素的影响的，而每个个别因素的影响都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的。例如，电灯泡的