高数new8-1向量及其运算

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1、第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第八章空间解析几何与向量代数向量代数空间解析几何数量表示空间:点,线,面坐标,方程组,方程向量法线,面间关系：垂直,平行,相切数量表示(基本方法)本章重点：第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1、向量的概念既有大小又有方向的量。如速度、力

2、等。模长为1的向量.表示为模长为0的向量.表示为

3、

4、向量的大小.表示为或或或⑴向量：⑵向量表示：⑶向量的模：⑷单位向量：⑸零向量:二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算或1向量的概念2两非零向量的关系不考虑起点位置的向量.大小相等且方向相同的向量.大小相等但方向相反的向量.⑹自由向量：⑺相等向量：(9)负向量：(8)向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1、向量的概念1向量的概念2两非零向量的

5、关系关于向量的表示：⑴相等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行(共线)：方向相同或相反的两个非零向量.⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故零向量与任何向量都平行或垂直。⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.2、两非零向量的关系二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算有哪几种?1向量的概念2两非零向量的关系1、向量的加减法⑴⑵⑶⑴向量加法法则：（平行四边形法则）特殊地：若‖，分为（有时也称三角形法则

6、）同向反向{二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算（大小）（方向同模大的向量）1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件⑵向量加法运算律：①交换律：②结合律：③加负律：⑶减法法则二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算注：1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件2、向量与数的乘法(1)(2)(3)⑴定义：二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件⑵数与向量

7、的乘积符合下列运算规律：①结合律：②分配律：⑶线性运算：向量的加减及数乘统称向量的线性运算。例如二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件例1试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算3、向量的单位化注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法.二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算单

8、位化1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件4、向量平行充要条件（只记结论，不证明）注：此定理是建立数轴的理论依据.二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算一维数轴：二维数轴：注意:(x,y)可表示点P，也可表示向量1加减3向量单位化2数乘4向量平行充要条件横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Oxyz坐标系或[O;i,j,k]坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.1、坐标系的构成⑴⑵⑶⑴坐标轴：横轴、纵轴、竖轴⑵坐标面：xOy面、yOz面、zOx面⑶卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ(图见下页

9、)二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1坐标系的构成2点、向量与坐标面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八个卦限二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1坐标系的构成2点、向量与坐标2、点、向量与坐标的对应关系空间的点M有序数组二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算注意:(x,y,z)可表示点M，也可表示向量(向径)1坐标系的构成2点、向量与坐标⑴加法1、向量的加减法与数乘⑵减法⑶数乘二向量的线性运算三空间直

10、角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算1加减与数乘2平行向量的坐标表示式2、平行向量的坐标表示式例2例3二向量的线性运算三空间直角坐标系五向量的模.方向角.投影一向量概念四利用坐标作线性运算向量平