习题课曲线积分(I)

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1、曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义背景曲线形构件的质量变力沿曲线作功性质线性、可加、无方向线性、可加、有方向计算一代、二换、三定限一代、二换、三定限联系曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧与

2、路径无关的四个等价命题条件等价命题提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则二、典型例题计算其中L为圆周例1计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:例2计算其中由平面y=z截球面原式=提示:因在上有故从z轴正向看沿逆时针方向.例3例4计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界解如图L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解(如下图)解其中L为例7计算取顺时针方向在原点不连续，以原点为心，作一半径充分小的圆周取逆时针方向由于L所围区域包含原点记L和所为成的区域为D1，由Green公式解解令得由使得在不经过的

3、值,的区域上与路径无关,并求当L为从A(1,1）到B(0,2)时的值。例9确定参数A(1,1)B(0,2)ACB如选路径C(1,2)则积分结果不易求出DB但如选路径AD(0,1)则其中L为例10计算其中L为由例11计算沿到逆时针例12验证:在整个xoy面内,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.其中是圆周例13计算若从轴正向看去,这圆周是取逆时针方向例14.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(的重心在原点)例15.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周

4、.解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答:(1)(2)例16.设在右半平面x>0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为