线性时不变电路的性质

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1、§14－3线性时不变电路的性质一、频域形式的表格方程表格方程由KCL、KVL和元件VCR方程组成。现在以图14－6电路加以说明。图14－61．用矩阵形式列出个结点的KCL方程简写为AI(s)＝0其中称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素为2．用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方程简写为U(s)＝ATV(s)其中AT表示关联矩阵A的转置矩阵。3．以mU(s)+nI(s)=US(s)形式列出矩阵形式的VCR方程。简写为(M0s+M1)U+(N0s+N1)I=US+Ui4．将KCL,KVL和VCR方

2、程放在一起，得到以下表格方程简写为其中T(s)称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数为零，又称为稀疏表格矩阵。矩阵T(s)的行列式detT(s)是以s为变量的多项式，若不为零，即detT(s)0，则该电路有唯一解。其中Ui表示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果由此可以得到线性时不变电路的两个性质。1．唯一解性质：当且仅当detT(s)0时，该线性时不变电路N存在唯一解。2．若线性时不变电路N具有唯一解，则其全响应等于零状态响应(仅由

3、输入引起)与零输入响应(仅由初始条件引起)之和。二、零输入响应和固有频率我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零输入响应1．假设电路的特征多项式，x(s)=detT(s)，具有n个简单零点：，电路具有n个单一的固有频率。我们求解方程可以得到因此得到的零输入响应为2．如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负实部，则对于任何初始条件，其零输入响应w(t)将按照指数规律趋近于零，也就是说电路的所有变量随着t→∞而按照指数规律变为零。(满足这种条件的电路称为指数稳定的电路)三、零状态响应和网络函数我们

4、只考虑输入对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零状态响应1．网络函数我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推广到任意输入的情况。我们讨论具有唯一解的线性时不变电路，假设电路仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量零状态响应的拉普拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定义为网络函数，记为，即由于全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出表示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。例14－3求图14－7所示电路的驱动点阻抗和转移电压比。解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点阻抗图14－7可以用分压

5、公式来计算图示电路的转移电压比由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态相同，差别仅在于jω换成了s。频域网络函数是以s为变量的两个多项式之比，将s换为jω就得到正弦稳态的网络函数，据此就可以画出频率特性曲线。若采用表格方程来计算网络函数，当detT(s)0，用克莱姆法则求解可以得到以下结果式中的W(s)表示感兴趣的某个电压或电流，US(s)表示一个独立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为它是以s为变量的两个多项式之比。其分子多项式的零点，称为网络函数的零点；分母多项式的零点，称为网络函数的极点。(1)网络

6、N的任一网络函数是具有实系数的两个多项式之比，因此它的零点和极点总是以共轭复数形式成对出现。由此可以得到网络函数的几点性质。若网络N是具有唯一解的线性时不变电路，则(2)零状态响应的拉普拉斯变换等于网络函数与输入拉普拉斯变换的乘积。即(3)任一网络函数的极点是网络N的固有频率。2．冲激响应与网络函数在动态电路的时域分析中讨论过冲激响应，它是单位冲激函数作用下电路的零状态响应，由于冲激响应的计算比较困难，我们先求出电路的阶跃响应，再用对时间求导数的方法来计算电路冲激响应的。在频域分析中，由于单位冲激函数的拉普拉斯变

7、换等于1，因此网络函数的反拉普拉斯变换就是冲激响应，即这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与时域特性的关系。则其冲激响应为根据定义，阶跃响应是在单位阶跃输入时电路的零状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如下所示。例如，如果网络函数H(s)有n个单一的极点，而且有例14－4求图14－8(a)所示电路中电感电压的冲激响应。图14－8解：图(a)的频域模型，如图(b)所示，注意到单位冲激函数的拉普拉斯变换是等于1，由此求得网络函数为计算结果与例8－12中用时域分析方法得到的结果相同。3．零状态响应和网络

8、函数电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的情况下，容易用下式求得。图14－8所示电路，如果则其网络函数和电感电压的零状态响应为最后介绍一个正弦稳态的基本定理：考虑任一具有唯一解的线性时不变电路N。令电路N中的全部独立电源是具有相同频率ω的正弦电源。如果电路N是指数稳定的，则对于任何初始条件(1)随着，全部支路电压和支路电流将趋于频率为ω的唯一的正弦稳态。(2)当然