系统函数零极点∽时域特性和稳定性

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1、§4.3系统函数零极点∽时域特性和稳定性一、系统函数H(s)零极点与h(t)波形关系①极点：分母多项式之根②零点：分子多项式之根③极点阶次：有限值：一阶极点直到K=n时才为有限值：n阶极点f(t)与F(s)之间存在一定对应关系，可从F(s)的典型形式透视出f(t)内在性质1．系统函数零极点概念⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点④∞处：分母次数>分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数分母次数<分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数注意：零、极点个数相同[例1]：①极点：s=-1（二阶）s=j2（一阶）s=-j2（一阶）零点：s=0（一阶）s=1+j1（一阶）s=1-j

2、1（一阶）s=∞（一阶）解：复数极点和零点成对出现[例1]：②极点：s=-1（二阶）s=∞（一阶）解：②零点：s=0（一阶）s=-2（一阶）s=-3（一阶）2．H(s)极点与h(t)波形特征关系故：①若为k阶极点，则则：②典型情况000pi=0（二阶）ⅰ)pi=0（一阶）ⅱ)pi<0（实一阶）pi<0（实二阶）00起始增加，最终收敛00ⅲ)pi>0（实一阶）pi>0（实二阶）0000ⅳ)pi,pj共轭虚轴（一阶）pi，pj共轭虚轴（二阶）00000ⅴ)pi，pj共轭左半平面（一阶）pi，pj共轭左半平面（二阶）000ⅵ)pi，pj共轭右半平面（一阶）pi，pj共轭右半平面（二

3、阶）0000极点左半平面→h(t)波形衰减极点右半平面→h(t)波形增长虚轴上一阶极点→h(t)波形等幅振荡或阶跃虚轴上二阶或二阶以上极点→h(t)波形增幅振荡总结：3．H(s)零点对h(t)波形影响[例2]：只影响幅度、相位、不改变波形形式二、H(s)极点与系统稳定性关系1．稳定性：系统本身特性，与激励无关2．h(t)与系统稳定性关系因果系统h(t)=0(t<0)时域和S域两方面出发：h(t)或H(s)集中表征了系统的本性，当然它们也反映了系统是否稳定因果系统的稳定性划分3．H(s)与系统稳定性关系4．稳定系统的另一定义方法：BIBO方法(包括非因果系统)考察因果系统H(s

4、)参见P210，表4-4；P212，表4-5有界输入有界输出全部极点s左半平面：稳定有极点s右半平面，或虚轴上二阶以上极点：不稳定虚轴上极点均为一阶，其它s左半平面：临界稳定5.稳定系统(包括非因果系统)充要条件：即冲激响应h(t)绝对可积由BIBO可知系统稳定证明：充分性当时，设：必要性则有界，6.因果稳定系统充要条件：7．BIBO稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件[例3]：[例4]：解：K取何值时系统稳定、临界稳定？时，系统临界稳定时，有共轭复根在左半平面，系统稳定且，即时，系统稳定系统稳定时，系统不稳定P242，图

5、4-55极点在s平面移动过程三、H(s),E(s)极点分布与自由响应、强迫响应关系零状态响应R(s)=H(s)E(s)，r(t)=£-1[R(s)]1．假设所有pi，pk均不相等，且没被零点抵消，则极点分为两部分自由响应(系统函数极点形成)强迫响应(激励函数极点形成)自由响应强迫响应齐次解特解零输入响应零状态响应齐次解的一部分齐次解的一部分+特解并非自由响应的全部：只对应零状态部分的自由响应，缺少零输入所对应的自由响应自由响应：形式只由H(s)决定，幅度相位由H(s),E(s)共同决定强迫响应：形式只由E(s)决定，幅度相位由H(s),E(s)共同决定2．Ki,Kk均由pi,

6、pk共同作用，即3．固有频率(自由频率)：系统行列式(系统特征方程)的根，反映全部自由响应的形式包含全部自由响应形式H(s)包含了零状态响应提供的全部信息，但它不包含零输入响应的全部信息因为当把系统行列式作为分母写出H(s)时，有可能出现H(s)的极点因子相消的情形分子分母因式可能相消使H(s)丢失固有频率，则相应的自由响应形式会丢失：即H(s)只能反映零状态响应，而无法反映零输入响应[例5]：解：零、极点相消丢失固有频率全部固有频率微分方程经典解法全部自由响应[例6]：解：故：自由响应强迫响应四、H(s)、E(s)零极点与瞬态响应、稳态响应关系时消失的相应部分1．瞬态响应：

7、时保留下来的相应部分2．稳态响应：极点实部小于0则自由响应＋强迫响应瞬态若极点实部大于0或在虚轴上有极点，则强迫响应稳态若的极点实部等于0，自由响应稳态4．的极点实部大于0，不稳定，自由响应稳态5．的极点实部均小于0稳定系统，自由响应均为瞬态响应3．6．的极点与零点相消，不出现该极点对应的自由响应的极点与零点相消，不出现该极点对应的强迫响应[例8]：求：①②若，为使响应中不存在正弦稳态分量，求LC值③，在②条件下，求解：①③②作业4-23(a)(c),4-26(a)(c),4-27,4-33,4-35,