个方程所确定的隐函数及其导数

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1、一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组的情形第五节隐函数的求导方法本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导在的某邻域内则解设F(x,y)x2y21,Fx2x,F

2、y2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.例2.已知方程在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数解:令则求定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导

3、如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得则例3.设解法1利用隐函数求导再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导例4.设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故二、方程组所确定的隐函数组及其导数在一定条件下方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0能确定一对二元函数uu(x,y),vv(x,y).例如,方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数事实上,能否根据原方程组求uu(x,y),vv(x,y)的偏导数？隐函数存在定理3设),,,(vuyx

4、F),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0,),,,(0000=vuyxF),,,(0000vuyxG0=且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组的单值连续函数且有偏导数公式:的某一邻域内可唯一确定一组满足条件定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P34-P35)有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内故得系数行列式解:二元线性代数方程组解的公式同样可得例5.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有例6

5、.设是由方程和所确定的函数,求解分别在各方程两端对x求导,得(99考研)作业：p-89习题9-52,3,6，7,8,10(1);(2)