两个重要极限、无穷小的比较

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1、第五节极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则夹逼准则；单调有界准则11.夹逼准则准则І：准则Ⅱ：单调有界数列必有极限.2.单调有界准则一、极限存在准则2例1解由两边夹法则得3证明略准则Ⅱ单调有界数列必有极限.2、单调有界准则4证(舍去).)的极限存在式n例2(重根证明数列5二、两个重要极限设单位圆O，圆心角作单位圆的切线6注意：（令）2)作用：7解：解：1.=1例1.求例2.例3.解：8例4.解：思考：9我们从三方面来认识这个极限：2)第二项与指数互为倒数.极限形式是3)不管自变量如何变，

2、满足前两个条件，极限值=e(e=2.718281828459045…)括号内第一项是1，中间是“+”号，证明略如:1)10例5.解:11补例.解:解:经验：含幂指函数型极限常用第二个重要极限12解例8计算13解例1014思考与练习15两个重要极限:16第一章都是无穷小,第六节引例.但无穷小的比较可见无穷小趋于0的速度是多样的.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同，两个无穷小商的极限用来比较两个穷小无趋向于零的速度“快慢”171.定义:注：判断无穷小的阶,实际上就是求两个无穷小商的极限.18注意：1.无

3、穷小的比较是无穷小与无穷小比较的；2.零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的;4.无穷小的比较是型极限的另外一种说法；5.有两个重要的符号例如19证:例1.则20证:即有等价关系:1)上述证明过程也给出了关系:例2.证明:2)常用等价无穷小:说明:把所有换成也成立21证:必要性充分性意义:由等价无穷小可给出函数的近似表达式．2.等价无穷小的性质22例如,（自反性）（对称性）（传递性）23定理2(等价无穷小代换定理)证：说明：即定理条件满足时,可以只代换无穷小的

4、分子或分母.即定理条件满足时,可以代换积中因式的无穷小.243.无穷小的商或乘积的极限可分别用无穷小代替，对于代数和中各无穷小不能分别等价代换.这是求极限的又一种好方法,注意适用条件.例3.求解:25只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能分别等价代换.切记:补例4.解:错解:26内容小结1.两个重要极限：代表相同的表达式2.无穷小的比较：设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小273.等价无

5、穷小代换定理：5.常用的等价无穷小：4.注意事项：1)并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比.2)只可对函数的乘积因子或商作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能随意等价代换.28最记得注意的是：当时29新增求极限的方法：8.重要极限法9.等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.作业:P541(1)(3)(5)(6)(7)(8);2;3(2)P661（2,4）;2；3；4(2)30有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小×31有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小32