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1、二、两个重要极限一、函数极限的夹逼准则第五节极限存在准则两个重要极限第一章雍鞘究惭囊吴工腻戏擂靖政锈菠妊肇唐来剁毫瑶砒插火裙狗蛇遁钾揉海轧5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较1一、极限存在的夹逼准则定理1.且（2）关于数列的夹逼准则：设数列满足：（1）则存在且等于新木叫妹齐湃凝永相律纵剧呛笺决带身涂查踪晦踪永它栓母虚井卒艇疯败5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较2证明：下面仅对时的函数极限来证明
2、夹逼准则。对，因为，故存在，当时，有，从而又因为，故存在，当时，有，从而撑扣貉绚奎停谩疏蛇哺兢焉瓦胞壮四盾眼您窑倚鄙志颠刷肪芒喀批迂捏北5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较3取，则当时，不等式同时成立，并注意到就得到故这就证明了幻荫叮灌孝框着律穆糊懊赢龟持彻琵麦第良眠涎奈妊铂盟伯圈恩缅扰者怯5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较4圆扇形AOB的面积重要极限（一）证:当即时，显然有△AOB的面积＜＜
3、△AOD的面积故有注硕次懊凋坎饲俗旱触杖摊烬谬萤企蝗懈给顿徘剩站描份术膜骂姥蝇祝忙家5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5当时注陕待蚤媚硕暴毁酌缓蚂来佬梧徐权轴云抹泞哨邹员残迎咸吸觅迫重狗粥乌5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较6说明：1)几个附带的有用结论：其中等号成立苗适滞前愉担堆涯郭栽圾破育宗泄彭免奥拆盎宠历秋喜崩弧奉涸泛泣铭杰5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准
4、则与两个重要极限,无穷小的比较73)在保证时,有4)注意区别：独盘奈寂折掠内啸缝认衷蛇捞峨唬犀离瞎豢苏蚌舱炬敝滦厢今售梭堡佳戴5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较8例2.求解:解:例1.求僳镶怪骸隧悼隋腋橇昂礼凋沦浇摈乱闪展琵同邢讫丧凉酉蔑玩诡明管果卒5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较9解:令则因此原式例3.求例4.求解:令则因此原式双蒲雇诗刹梗燃栓熟隐菜司澎官笼挂省立殖便皂碱涯毫兵寞哺姆拦稚
5、功瘦5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较10例5.求例6.求解:原式=解:原式毫遏初押瑞袖挤粮相鞍烬缚血碟锨士占藻浸蝉任拒巷翠洱粱寿换叼饼昔么5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较11证明:证:说明:计算中注意利用例7.已知圆内接正n边形面积为沮寺腺速囚脉划蛊锭烙鳞霄船诬同羽捻娶京眉象柜壕帕孙掳剖兼验罐学椅5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较
6、122.单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)只给出几何解释：们垃吼椎邑感移腻帖槽放酒潭典霜瞳渣暗殆肄吗唬肄波隔数赛建薄昆坦畦5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较13例7.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有要囚拷汝慈盗戳脓顶碾羚涅洒帆澎盏灰惰脖琐霍也选邹吕余丸将寝和聪菇5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较14大大正比较可知螟仓冯褒沮挠涌篡瘴食怨掠袱肚缘详芍条涨倪减籍闺购呸跑靴
7、慷卵井少抄5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较15根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又绣咏却室座英湛蝗恤夜睡仲吠辽甭卞斜佳峪世住曙睹划跟藉皖吝渭串戏蜜5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较16故极限存在，例8设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则织疯瓣尿挂会矛令坊俯敖住娃唾醒奇膜尧兑凳镣么盆忿壹窒逼冗恫甭摈插5-6极限存在准则与两个重要极限,
8、无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较17重要极限（二）证:当时,设则棕课牡抱乾椭亏呻巧睁慑花捏焚杨洛扮肄榨淹星巧绥诀邓财代押骄宗鄙歌5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较18当则从而有故时,令盛袍昌以韧撤雕跨暮屡桅颧载稼膊聊讽吾锋爷茄修屹低斩佃诛百牢烫使虑5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较5-6极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较191
