两个向量的数量积(VII)

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1、3.13.1.3两个向量的数量积理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何知识点一知识点二考点三考点四知识点三3．1.3两个向量的数量积提示：120°.问题2：空间向量a与b的夹角为〈a，b〉，那么〈a，b〉与〈b，a〉的关系如何？提示：〈a，b〉＝〈b，a〉．空间向量的夹角(1)定义及记法已知两个a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则叫做向量a与b的夹角，记作．(2)范围和性质①范围：≤〈a，b〉≤．②性质：〈a，b〉〈b，a〉．如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作．非零

2、向量∠AOB〈a，b〉0π＝90°a⊥b问题1：分别在两个平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定．如图，正方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′⊂平面A′ABB′.CC′⊂平面B′BCC′.AA′与CC′所在的直线是平行直线．问题2：如果把两条异面直线平移到同一平面内，那么平移后的两条直线的位置关系是什么？提示：相交．问题3：如何刻画两条异面直线的相互位置？提示：用两异面直线所成的角．1．异面直线的定义的两条直线叫做异面直线．2．两条异面直线所成的角把异面直线，这时两条直线的夹角()叫做两条异面直线所成的角．如果

3、所成的角是直角，则称两条异面直线.不同在任何一平面内平移到一个平面内锐角或直角互相垂直问题1：平面内向量a与b的数量积怎样求？提示：a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉．问题2：空间两个向量的数量积和平面内两个向量的数量积相同吗？提示：相同．因为空间任意两个向量可以平移到一个平面内．1．空间两个向量的数量积已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)．2．两个空间向量的数量积的性质(1)a·e＝．(2)a⊥b⇔．(3)

8、a

9、2＝．(4)

10、a·b

11、≤．a·b＝

12、a

13、

14、b

15、cos〈

16、a，b〉

17、a

18、cos〈a，e〉a·b＝0a·a

19、a

20、

21、b

22、3．两个空间向量的数量积的运算律(1)(λa)·b＝．(2)a·b＝．(3)(a＋b)·c＝．λ(a·b)b·aa·c＋b·c[思路点拨]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．答案：B2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：[一点通]利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：3．已知a，b是异面直线，A

23、∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C[例3]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．[一点通]求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用

24、a

25、2＝a·a，通过向量运算去求

26、a

27、，即得所求距离．答案：C6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠AC

28、D＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．[例4]已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.[一点通]用向量法证明垂直的方法，把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．7．已知向量a、b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c

29、⊥b，并不能保证l⊥平面α.答案：B8．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．点击下图进入“应用创新演练”