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1、第4章不定积分引言由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及等问题,产生了不定积分和定积分,同构成了微积分学的积分学部分.的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积求曲线前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.现在我这种由导4.1原函数与不定积分原函数的概念定义设是定义在区间上的函数,若存在函数对任何均有或则称函数为在区间上的一个原函数.例如,因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;一个函数的原函数不是唯一的原函
2、数的概念若为在区间上的原函数,也是在区间上的原函数.1.(C为任意常数).函数的全体原函数为(为任意常数).2.注:函数求导得来的.则其全体原函数为区间上的连续函数一定有原函数.求函数的原函数,实质上就是问它是由什么而一旦求得的一个原函数(为任意常数).不定积分的概念定义若存在原函数,为积分符号,由定义知,则在某区间上的函数称为可积函数,并将的全体原函数记为则称它是函数在区间内的不定积分,其中称称为被积函数,称为积分变量.若为的原函数,(称为积分常数)不定积分的概念注:由定义知,求函数的不定积分,就是求的全体原函数,就是求导(或求微积分)运算的逆运算.故求不定积分的运算实质上不定
3、积分的几何意义０例1求下列不定积分例2已知曲线在任一点处的切线斜率为且曲线通过点求此曲线的方程.微分运算与积分运算的关系由不定积分的定义知,即所以原函数,若为在区间上的或则在区间内的不定积分为易见是的原函数,或微分运算与积分运算的关系所以又由于是的原函数,或从上可见微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时,一常数.完全抵消,抵消后差基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)(是常数)(4)基本积分表(7)(9)(10)(11)(8)不定积分的性质利用微分运算法则和不定积分的定义,算性质:性质1两函数代数和的不定积分,分的代数和.即证证毕.可得下列运等于它们各自积注:此性质可推
4、广到有限多个函数之和的情形.不定积分的性质即证证毕.性质2求不定积分时,非零常数因子可提到积分号外面.直接积分法从前面的例题知道,不定积分是非常不方便的.为解决不定积分的计算质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.利用不定积分的定义来计算问题,这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性即直接积分法不定积分性质积分基本公式注:多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一个积分常数例如,计算不定积分例4计算不定积分(1)若(2)若是的原函数,例5作业习题4:2.单号题练习求不定积分(1)(2)
