不定积分的计算(IV)

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1、不定积分的计算就是已知一个函数求它的原函数的问题.在实际计算时能用直接积分方法解决的计算问题是很少的,大量的一般的不定积分计算问题需要通过进行适当的变换方法和一定技巧,把问题转化为能用直接积分方法解决.本节介绍几种比较常用的求不定积分的方法.引言7/16/20211一、“凑”微分法例如：形式上“凑”成能由不定积分公式求出的积分!简单替换例1:第一类换元法7/16/20212“凑”微分法:设法凑成积分公式实质上是一种简单换元积分法.例1抽象概括为一般方法回代为X表示认真体会7/16/20213例2.例3.变换技巧可以作为公式关

2、于绝对值化简整理7/16/20214例4.例5.公式凑!三角公式使用7/16/20215二、换元积分法例6.变量代换第二类换元法7/16/20216定理:则证明：7/16/20217例7.解：基本出发点是有理化回代并化简整理7/16/20218例8.解：变量关系借助于直角三角形xta7/16/20219例9.解：例10.解：观察被积函数形式决定变量代换7/16/202110注：“凑”微分法与换元积分法比较“凑”微分法——将函数替换为变量：7/16/202111换元积分法——将变量替换为函数：注：对某些函数的不定积分，有时可用

3、不同的方法、不同的函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.但是验证是否正确只要求导等于被积函数即可.7/16/202112例如：注：积分方法以“化繁为简”为目的.作业:P279。1(双号)单号练习7/16/202113三、分部积分法or作不定积分运算,即得or称之为分部积分公式.将被积函数u转换为v7/16/202114注1.积分不能直接求出，通过此公式进行转化改写转化7/16/202115解：例11.适当选择u和v7/16/202116例12.解：例13.解：加题7/16/202117例14.求解：同法移项7/16

4、/202118例15.解：联立,解之得：方法特殊观察可见二元方程组对两个不定积分分别使用分部积分公式7/16/202119注2.类似的,下列函数的不定积分常可用分部积分法求得.有时使用若干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；P266类型注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时应特别注意如下情形：7/16/202120将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分是原函数的集合.此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式,例如：降次7/16/202121初等函数的导数

5、仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,是非初等函数,即初等函数的原函数不一定是初等函数.作业:p2812.（双）.3（单）7/16/202122（多项式）四、有理函数积分法1.代数的预备知识设P(x)与Q(x)都是多项式,则有理函数的一般形式是例如：7/16/2021237/16/202124根据代数分项分式定理,有分项分式理论依据7/16/202125方法一：方法二：使用“赋值法”简化对待定系数的求解.将(﹡)式右端通分，得（待定系数法）7/16/202126例16.解：(方法一)比较两

6、端分子的同次幂系数,得7/16/202127解：(方法二)赋值7/16/2021282.有理函数的不定积分重点前三种这里给出的是结果，具体推导方法如下：7/16/2021297/16/202130(循环)7/16/202131（分部积分法）7/16/2021327/16/202133注2.有理函数总存在初等函数的原函数.注1.例16.解：注3.基本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。7/16/202134例17.求解：省略中间过程，用待定系数法，得A=1，B=-1，C=1，代入原式7/16/202135例18.求

7、解：作业:P28147/16/202136五、其他类型的不定积分（一）简单无理函数的不定积分基本原则：简单无理函数变量替换有理函数符号R(u,v)表示以u和v为变量的有理函数.7/16/202137积分有理化有理化求解.7/16/202138例1.解：加题7/16/202139例2.解：加题7/16/202140例3.解：(分项)(变形)(代入)7/16/202141例4.解：加题7/16/202142分以下几种情况讨论：7/16/202143此积分形式同下列公式：或7/16/202144例6.解：7/16/202145（二

8、）三角函数的不定积分(化为有理函数)一般地7/16/202146就有这样就把积分有理化了.从而三角函数R(sinx,cosx)存在初等函数的原函数.7/16/202147例7.解：加题7/16/202148例8.解：7/16/202149关于R(sinx,cosx)具有某种性质时的一些特殊