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1、§2不定积分的计算（1）(一)教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二)教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法.(三)教学建议：(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法：1）凑公式法2）部积分法2）第二变量替换法一第一类换元法——凑公式法引出凑公式法:Th若连续可导,则该定理可叙述为：若函数能分解为则有.凑公式法：表面看不符合基本积分公式，但
2、作变换，令后，而符合基本积分公式例1但作变换，令后例2不符合基本积分公式，稍微变换一下＝令例3不符合基本积分公式，但用三角函数公式整令后化成凑公式法的关键是设法把凑成的形式，使符合基本积分公式。凑公式法的关键是设法把凑成的形式，使符合基本积分公式。分部积分我们讲导数时，知道从而有移项得或我们称这个公式为分部积分公式。当不容易积分，但容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的计算出来例4若令，代入分部积分公式但若令，代入分部积分公式比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u,v的选择不是随意的，那个作u,那个作v，应适当选取，否则
3、有可能计算很复杂甚至计算不出来。分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为，积分较难或积分后比较复杂的函数作为例4相比之下显然，容易积分，所以取分部积分公式也可以连续用多次例5积分是它本身，积分是相比之下，容易积分，应选，再用一次分部积分公式例6二者积分难度相当，随意取那个作u都可，比如取代入分部积分公式再分部积分一次出现循环将上式最后一项移到左端合并整理分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分等常用分部积分来计算。习题课(凑公式法和分部积分法)1常用的几种凑公式法凑法1例1例
4、2例3例4由例1-4知，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例5⑴.⑵.凑法2.特别地,有和.例6.例7例8.例9=.凑法3例10⑴⑵例11例12.例13凑法4.例15凑法5例16凑法6.例17.其他凑法举例:例18.例19例20.例21.例22.例23例24.二使用分部积分公式的一般原则.1.幂X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂”型的积分,使用分部积分法可
5、使“幂”降次,或对“”求导以使其成为代数函数.例46(幂对搭配)例47(幂三搭配)例48(幂指搭配)例49(幂指搭配)例50例51(幂反搭配)例522建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是:对被积函两因子之一求导,进行分部积分若干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来.例53例54求和解解得例55解==（参阅例41）解得例56例57，解得.例58==,解得.§2不定积分的计算（2）第二换元积分法教学内容：第二换元积分法要求：掌握正弦代换，正切代换，正割代换，根式代
6、换的技巧难点：代换的选择技巧二.第二类换元法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即===引出拆微原理.Th2设是单调的可微函数,并且又具有原函数.则有换元公式(证)常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,则例27解法一直接积分;解法二用弦换.例28.（参阅例11）例27⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即
7、令.此时有变量还原时,常用所谓辅助三角形法.例28.解令有.利用例22的结果,并用辅助三角形,有==例31⑶正割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式令有变量还愿时,常用辅助三角形法.例32解.例33.解法一（用割换）2.无理代换:若被积函数是的有理式时,设为的最小公倍数,作代换,有.可化被积函数为的有理函数.例34.例35.若被积函数中只有一种根式或可试作代换或.从中解出来.例36.例37例38(给出两种解法)例39.2.倒代换:当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试
8、用倒代换例40
