关于不定积分的计算问题

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1、计算不定积分是求导和求微分的逆问题，是否会求不定积分，将直接影响　到是否会求定积分。5-1 原函数的概念：如果在区间I上或，则称在　      区间上是的一个原函数。（见例5-6，例5-9，例5-11）5-2 不定积分的概念：是的一个原函数，为任意常数，　   则称为的不定积分，记为，　   其中“”称为积分号，x称为积分变量，称为被积函数。            注：=△=△5-3    不定积分运算和微分运算互为逆运算：　（1），　（2），            注：先积后微作用相抵，先微后积抵后加C。5-4 基本积分公式   

2、     （1）  特别  （k为常数）        （2），        （3），特别        （4），        （5）                             （6），        （7）                       （8），        （9），特别地        （10）   ，特别地        （11），特别地        （12），特别地　（13），　注：以上公式把x换为“口”仍成立，口是以x为自变量的函数。　5-5不定积分的基本性质：　（1）  　（2）5-6

3、第一换元积分法：设　                   则       注：（1）是关键的一步，这一步是在　            凑微分，因而第一换元积分法也称为凑微分法。　            见（例5-1，例5-2，例5-6）              （2）利用△dx=△dx）=d口，（见公式5-3（1））可得　            可用口诀“进d变积分”帮助记忆。　           因而有一个积分公式，就会有一个凑微分公式，　                     且利用凑微分法公式          得其配套

4、的积分公式，          下面根据5-4中的基本积分公式给出常见凑微分公式。一般形式：△=△=d口，具体形式：（1），（2），    （3），（4），（5））（6），（7），（8），（9）      （10）         　等等。5-1解题思路图：　对于注：图中（1），（2），（2）1），（2）2）说明如下：（1）   将较复杂的积分拆为较简单的积分。通常在计算时，如果口=且可以算出结果，则通常用这个拆项的方法来①做。常用拆项方法如下：①   加一项减一项（通常为了与分母约分，在分子上加一项减一项）（见例5-2）②   分

5、母可积化（例如将分母化为等形式）后拆项。③   利用1=④   利用三角函数的积化和差公式和倍半角公式，对三角函数进行降幂处理，然后拆项。（2）   对于较简单的积分，将变形为（这一步     主要是根据的特点，     选择是用换元积分法还是用分部积分法来进行积分，若选择用换元积分     法时，将变形为时，事实上已确定了新积分变量     为;若选择用分部积分法来积分时，就应按内容5-8中的方法变为     合适的形式　①   利用不定积分的换元积分法（详见内容5-6，5-7）　令，将积分转化为关于新积分变量u的积分　，再利用公

6、式5-4和5-5计算出新的积分，计算完后将　代回（见例5-1，例5-2，例5-3，例5-7，例5-8）   ②利用分部积分法（详见内容5-8）来计算，具体如下：转化为计算新积分。（例5-4，例5-5，例5-12）当被积函数是　几类不同函数的乘积时，可考虑采用全部？？　5-2      常见变换（1）   当被积函数含有，可令或，去根号，     将其转化为三角函数的微分（见例5-8）同理，当被积     函数今有，可令或，去根号，都可将     积分化为三角函数的积分（详见5-7）（2）   对积分，可令去根号，将其转化为有　   

7、  理函数的积分。（3）   当被积函数分母中的x的幂次大于分子中的x的幂次，可令（倒代换）（详见5-7）（见例5-3）　（4）   当被积函数中含有（或）时，可令（见例5-7）　（5）   对积分可令（万能代换）化为有理函数的积分。例5-1求分析：被积函数中的一个因子为，；剩下的因子2x恰好是的导数