不定积分的计算(I)

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1、第五节不定积分的计算一第一类换元积分法二第二类换元积分法三分部积分法四几类特殊函数的积分一、第一类换元积分法设则如果（可微）由此可得不定积分的一个重要特性——积分形式的不变形。（1）定理1设具有原函数，可导，则有以下公式2.使用公式(1)的关键在于将化为，进而化为说明：1.定理1说明不论积分变量是自变量还是中间变量不定积分形式总是不变的。即原来对变量x的积分可通过变量代换变成对变量u的积分。这种计算不定积分的方法称为第一类换元法，也称凑微分法。例1求解：被积函数中的一个因子为，；剩下的因子恰好是中间变量的导数，

2、于是有例2求解：例3求解法一:解法二：解法三：一般地，对于积分总可以取，使之化为例4求解：一般地，对于积分总可以取，使之化为例5求解：熟练以后就不需要进行转化了例6求类似地，解：例7求解：例8求解：例9求解：例10求解法一：解法二:例11求解：例12求解法一:（使用了三角函数恒等变形）类似地可推出解法二：（应用例9的结论）òxdxcsc例13求解：例14求当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分。解：例15求解：二、第二类换元积分法凑微分法是通过中间变量将积分化成,下面要介绍的换元积分法是通过变量代换将积

3、分化为积分证：设为的原函数,令则定理2设是单调的、可导的函数,并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数（2）式为第二类换元积分公式这说明为的原函数。例16求解:例17求解：令其中例18求解:令其中说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令基本积分表例19求解:例20求解:例21求解:定理3设，具有连续导数，则三、分部积分法（3）式为分部积分公式或（3）证明：由乘积的求导公式得故或写成例22求如果令显然，选择不当，积分更难进行解:令则容易积出。要比

4、(2)要容易求得；(1)一般要考虑下面两点：和选取例23求解：（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。例24求解：例25求解：令例26求解:当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把和写出来了，只要把被积表达式凑成的形式，便可使用分部积分法。总结如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂函数与反三角函数的乘积，可设为对数函数或反三角函数.例27求解：又解：总结若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任选，但应注意接连

5、几次应用分部积分公式时所选的应为同类型函数。例28求解：四、几类特殊函数的积分两个多项式的商表示的函数。有理函数的定义其中都是非负整数；及都是实数，并且1.有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式。有理函数有以下性质1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例如，我们可将化为多项式与真分式之和其中都是待定的常数。2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和。最简分式是下面两种形式的分式特殊地：分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分

6、母中若有因式，则分解后为其中都是待定的常数（2）分母中若有因式，其中则分解后为其中iiNM,都是待定的常数),,2,1(kiL=特殊地：分解后为例29方法一（比较系数法)方法二（赋值法）令得令得两种方法都能得到例30例31求解:有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分分式的积分：(1)(3)(2)(4)下面逐一给出他们的求法(1)(2)当时,(3)当时,(4)当且时,这里记则即而结论有理函数的原函数都是初等函数。虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这个原理，而要根

7、据情况，把积分尽量简化。例32求解：解:例33求例34求解:三角有理式的定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为2.三角函数有理式的积分令（万能置换公式）解:由万能置换公式例35求例36求解法一：解法二：修改万能置换公式,令解法三：可以不用万能置换公式结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换。例37求解:设即例38求解:则首先讨论类型解决方法作代换去掉根号。例39求令3.简单无理函数的积分解:例40求解:令例41求解：令接着讨论

8、形如的积分例42求解：则令对于某些含有二次根式的不定积分，还可以用“倒代换”的方法来做。例43求解：设当时也有同样结果当时,有0>t当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例44求解：令例45求解: