《不定积分的计算》PPT课件

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1、一、“凑”微分法例如：形式上“凑”成能由不定积分公式求出的积分!简单替换例1.“凑”微分法:设法凑成积分公式带回x实质上是一种简单换元积分法.例2.例3.例4.例5.二、换元积分法例6.Theorem:则证明：例7.解：例8.解：例9.解：例10.解：注：“凑”微分法与换元积分法比较“凑”微分法——将函数替换为变量：换元积分法——将变量替换为函数：注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.例如：注：积分方法以“化繁为简”为目的.三、分部积分法or作不定积分运算,即得or称之为分部积分公式.注1.

2、不能直接求改写转化解：例11.例12.解：例13.例14.求解：例15.解：联立,解之得：注2.类似的,下列函数的不定积分常可用分部积分法可得.注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注意如下情形：将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分是原函数的集合.此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式,例如：初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,如是非初等函数,即初等函数的原函数不一定是初等

3、函数.（多项式）四、有理函数积分法1.代数的预备知识设P(x)与Q(x)都是多项式,则有理函数的一般形式是例如：根据代数分项分式定理,有方法一：将(﹡)式右端通分，得方法二：使用“赋值法”简化对待定系数的求解.例16.解：<方法一>比较两端分子的同次幂系数,得例16.解：<方法二>2.有理函数的不定积分Infact,（分部积分法）注2.有理函数总存在初等函数的原函数.注1.例16.解：例17.求解：例18.求解：五、其他类型的不定积分（一）简单无理函数的不定积分原则：简单无理函数变量替换有理函数符号R(u,v)表示以u和v为变量的有理函数.积分有理化有

4、理化求解.例1.解：例2.解：例3.解：例4.解：分以下情况考虑：此积分形式同：或例5.解：此积分形式同：或例6.解：（二）三角函数的不定积分就有这样就把积分有理化了.从而三角函数R(sinx,cosx)存在初等函数的原函数.例7.解：例8.解：关于R(sinx,cosx)具有某种性质时的一些特殊变量替换：例9.解：例10.解：例11.解：例12.解：a)含有sin2x或cos2x的奇次幂，此时可由(1)求之；将被积函数化简,其结果：b)含有sin2x或cos2x的偶次幂，用上述三角公式化简,化成含sin4x与cos4x的函数，依次类推.例13.解：解

5、：利用三角函数的积化和差公式可解.例14.解：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为1、三角函数有理式的积分五、其它形式的不定积分令（万能置换公式）例7求积分解由万能置换公式例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10求积分解令2.简单无理函数的积分例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例12求积分解先对分

6、母进行有理化原式六、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)合理选择，正确使用分部积分公式