不定积分的概念(III)

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1、5.1不定积分的概念1定义5.1设　　是定义在区间　　内的已知函数．如果存在函数　　，使对于任意的　　　　，都有或，则称　　是　　在　　上的一个原函数．5.1.1原函数2不难看出　　　　，　　　　，(为任意常数)都是　　　的原函数．例1设函数　　　　　，　　　　．由于函数　　　　　　满足，所以　　　　　　是　　的一个原函数．3由此例可以看出：如果函数　　有一个原函数，则　　就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数．（　为任意常数）．所以　　　　也是　　的原函数．证明如下：如果　　是　　的一个原函数，则4．则由中值定理的推

2、论可知，　　和　　仅差一常数，即存在常数　，使得另一方面，如果　　和　　都是　　的原函数，即，一般，如果　　是　　的一个原函数，则的全部原函数就是(为任意常数)．5定义5.2函数　　的全部原函数，称为　　的不定积分，记作．其中“”称为积分号,称为积分变量，　称为被积函数，　　　称为被积表达式．5.1.2不定积分如果　　是　　的一个原函数，则（　为任意常数）．其中　称为积分常数．6例２求函数　　　　的不定积分．解因为　　　　　（或　　　　　　）所以（　为任意常数）．，例3求函数　　　　的不定积分，其中　　　为常数．解因为　　　　　　　，所

3、以（　为任意常数）．7解当　　　时，　　　　，所以当　　　时，　　　　　　　　　　，所以．．例４求函数　　　　的不定积分．可以证明：如果被积函数　　在某区间上连续，则在此区间上　　一定有原函数．所以．81.填空题练习9101112如果　　是　　的一个原函数，则　　的不定积分　　　　　　　　．对于每一给定的常数　，　　　　表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为　　的一条积分曲线．由于　可以取任意值，因此不定积分　　　　表示　　　的一族积分曲线．5.1.3不定积分的几何意义13y=F(x)y=F(x)+Cx斜率f(x)14例5已知曲线

4、的切线斜率为（1）求积分曲线族；（2）求通过点的积分曲线。15故所求积分曲线为(2)把点代入，得C=2，故通过A点的积分曲线为解(1)设所求曲线为，因16例5设曲线过点（-1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求曲线方程为　　　　．过曲线上任意一点　　的斜率为，17所以，　　是　　的一个原函数，因为，故　　　　　　．又曲线　　　　过点(-１,2)，有，即　　　．于是所求曲线方程为．18练习求经过点（1，5），且其切线的斜率为的曲线方程．19