不定积分的定义和性质(I)

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1、第一节不定积分的定义和性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结例定义:一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1)原函数是否唯一?例(为任意常数)(2)若不唯一它们之间有什么联系?关于原函数的说明:(1)若,则对于任意常数,(2)若和都是的原函数,则(为任意常数)证(为任意常数)任意常数积分号被积函数不定积分的定义:被积表达式积分变量例1求解解例2求例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程

2、.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为显然,求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义,可知结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表是常数);说明:例4求积分解根据积分公式(2)证等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)三、不定积分的性质例5求积分解例6求积分解例7求积分解例8求积分解说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能

3、使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念:不定积分的概念:求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数在内是否存在原函数?为什么?思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.练习题练习题答案

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