不定积分的概念与性质(I)

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1、第五章不定积分在微分学中我们已经介绍了求一个已知函数的导数与微分的问题，在科学技术和经济管理中，常常需要研究其逆运算，即已知函数的导数，求这个函数.这种由导数或微分求原函数的运算，称为不定积分.微分法:积分法:互逆运算第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法主要内容：第四节有理函数积分第一节不定积分的概念与性质二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为f(x),即对任意的xI,均有则称函数F(x)为f(x)区间I上的一个原函数.F

2、(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,例如,当x(-,+)时,因为(sinx)=cosx,所以sinx是cosx在(-,+)内的一个原函数.又如,当x(0,+)时,因为在区间(0,+)内的一个原函数.定理(原函数存在定理)简言之,连续函数必有原函数.I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使得对任意的x∈I,均有F(x)=f(x).如果函数f(x)在区间一个原函数,则F(x)+C也是f(x)的原函数.所以,如果F(x)是f(x)的由于常数的导数等于零,另一方面,如果F(x)和G(x)都是f(x)的原函数

3、,则有[F(x)G(x)]=0,即F(x)=G(x)+C,所以,f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.这样就得到:如果F(x)是f(x)在区间I上的原函数,则在区间I上,f(x)的所有原函数可表示为F(x)+C.在区间I上,函数f(x)的带有任意常数其中,记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.如果F(x)是f(x)的一个原函数,则有项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记做定义2也就是，函数的不定积分就是其原函数的全体。例1求解因为(x3)=3x2,所以例2求解因为例3求解

4、当x>0时,因为当x<0时,因为从不定积分的定义,可得下述关系式:例4求经过点(1,3),且其切线的斜率为2x的曲线方程.解由于得曲线族y=x2+C.将x=1,y=3代入,得C=2,所以所求曲线为y=x2+2.二、基本积分表(k为常数);利用逆向思维以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,必须熟记.例5求例6求三、不定积分的性质性质1设函数f(x)及g(x)的原函数均存在,则性质2设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则推论:若则直接积分法:常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式等利用恒等变形,积分性质及基本积分公

5、式进行积分.例7求注意：检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数.例8求例9求例10求例11求例12求例13生产某产品个单位的总成本为产量的函数.已知边际成本函数为固定成本为10000元,试求总成本与产量的函数关系.解由边际成本函数故总成本函数为由已知固定成本为10000元,即,得故所求成本函数为内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P144)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质作业P147

6、1(单数题);2;4；说明：由上述各例可知,对一些简单的积分问题,总是设法将被积函数进行恒等变形，化简后才能使用基本积分表.解所求曲线方程为