不定积分的定义和性质

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1、第一节不定积分的定义和性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结例一、原函数与不定积分的概念定义1设函数在某区间上有定义，如果存在函数，对于该区间上任一点，使则称函数是已知函数在该区间上的一个原函数。原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.例（为任意常数）如果函数在区间内连续，那么在区间内存在可导函数，使都有问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证：（为任意常数）都是的原函数。不定积分的

2、定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为。积分号被积函数积分变量积分常数即：求不定积分的中心问题是寻求被积函数的一个原函数。例1求解:解:例2求由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、不定积分的基本性质实例:结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.能否根据求导公式得出积分公式？说明：基本积分表有一个导数公式就相应地有一个不定积分公式。根据积分公式（2）例3求积分解例4求积分解对被积函数稍加变形，化为指数函数形式。据公式（13）现证(1)

3、等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质例5求积分解:例6求积分解：例7求积分解例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。四、不定积分的几何意义若是的一个原函数，则称的图形是的积分曲线。积分曲线族的特点是：（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如，曲线沿y轴平行移位而得到。当时向上移动；当时，向下移动。（2）由于，即横坐标相同点处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于，从而使相应点的切线平行。oxy例9

4、：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为即是的一个原函数。基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结