《高等数学极限》PPT课件

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1、第三节函数的极限函数极限的性质函数在无穷远点的极限函数在一点的极限函数自变量变化过程的六种形式:2用数学语言刻划问题无限接近于确定值A.一、函数在一点(one-point)的极限3考虑空心邻域，是什么意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什么，但是，在附近必须要有定义。[例1]问题4[例2]51.定义恒有定义设函数有定义.在点x0某去心邻域内注任何极限定义都是“四句话”结构。6注(1)定义中的f(x)有没有极限与在点x0是否有定义无关.(2)定义中标志x接近x0的程度,也将越小.(3)不要求最大的表示一般越小,只要求存在即可.它与有关.7必存在x0的

2、去心邻域对应的函数图形位于这一带形区域内.带形区域8一般说来,应从不等式出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与相对应的这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到就证明完毕.可把9例证10例证函数在点处没有定义.要使11练习证明证要使只要取123.左、右极限(单侧极限)两种情况分别讨论!13左极限右极限或14且常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.注15试证函数证左、右极限不相等,故例16左、右极限存在,证故极限不存在.例但不相等,讨论的存在性.17练习设函数答案18二、函数在无穷远点(infinite

3、point)的极限设对充分大的x,函数处处有定义.如果随着x的无限增大,相应的函数就无限接近某一常数A.x趋向于负无穷x趋向于无穷x趋向于正无穷19用数学语言刻划问题表示表示无限增大.1.定义定义无限接近、202.另两种情形21解和虽然都存在,但不相等.故不存在.例讨论极限是否存在?Axfx=-¥®)(lim22在x的该种趋向下例都不存在.不存在.如果在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数,称:总结一下x的趋向一共有六种:23图形完全落在:24例证要使成立.只要有25图形的水平渐近线直线注26练习试证证要使只要有27三、函数极限的性质函数极限与数列极限有类似的性质,且证明方法也类似

4、.以自变量趋于有限值时函数的极限说明.定理1（唯一性）定理2（局部有界性）若极限存在，则它是唯一的.若存在，则存在的某去心邻域，使得在内有界．28定理2(局部有界性)f(x)有极限29定理3(局部保号性)证(1)设A>0,取正数即有自己证30只要取便可得更强的结论:证(1)也即(2)自己证.定理3(1)的证明中,不论定理31证假设上述论断不成立,那末由(1)就有在该邻域内这与所以类似可证的情形.假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为必有不能!如思考是否定理3定理3321.函数极限的或定义;2.函数极限的性质局部保号性;唯一性;局部有界性;函数极限与数列极限的关系;3.函数的左右极限判

5、定极限的存在性.内容小结33极限定义中与的关系是().B(1)(A)先给定后唯一确定;(C)先确定后给定;(D)与无关.(B)先确定后确定,但的值不唯一;思考练习34(2)如果与存在,则().(B)存在但不一定有(C)不一定存在;(D)一定不存在.(A)存在且C35(3)试证[提示]仅需在附近讨论问题,限定36练习册(37页)1；5（3）；6（2）课后作业37