高等数学PPT§1.2 数列的极限课件.ppt

《高等数学PPT§1.2 数列的极限课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数列的概念收敛数列的性质小结思考题作业数列极限的概念概念的引入§1.3数列的极限第一章函数与极限1一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.中写道:2刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的边长

2、,正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误差了.“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”3正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的极限4如定义按照某一法则，对每个自然数n，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大的排列得到一个序列：简记为通项(generalterm),或者一般项.二、数列(sequenceofnumber)的概念5可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数数列对应着数轴上一个

3、点列.6三、数列极限的概念即问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,当n无限增大时,无限接近于1.如何确定?7在－1与1之间跳动观察可见：的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：观察下列数列的变化趋势8定义1若当时，一般项无限地接近于某个则称a为数列的极限，记作或例如：而无极限我们称有极限的数列为收敛数列，（读作n趋向无穷大时，若当时，确定的常数a,数列没有极限。无极限的数列为发散数列。趋向于）.不接近于任何确定常数,则称=不存在9如何用数学语言刻划它.可以

4、要多么小就多么小,则要看“无限接近”意味着什么?只要n充分大,小到什么要求.当n无限增大时,无限接近于1.1011当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

5、xn-a

6、无限接近于0.当n无限增大时,

7、xn-a

8、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

9、xn-a

10、能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,

11、xn-a

12、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.12定义2如果对于任意给定的

13、正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于时的一切不等式成立.收敛于a或称数列记为或那末就称常数a是数列的极限(limit),如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).定义13数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理注需要预先知道极限值是多少.和证明极限,而不是用来求极限,因为这里数列的极限即,),(内都落在所有的点ee+-aaxn14例所以,证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.解不等式15例证为了使只需使数列的极限16例证明数列以0为极限.证要使由于有

14、为了简化解不等式的运算,常常把作适当地放大.用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.17注{xn}有没有极限,一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;主要看“后面”的无穷多项.定义采用逻辑符号将的定义可缩写为:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限项不起作用,;的无限接近与刻划了不等式axaxnne<-;,将越大越小Ne18例分析:证明0,NN当nN时有

15、xna

16、.191.有界性如,有界;无界.定义若存在正数M,数n,恒有称为无界.则称数列有界;数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.否则,

17、使得一切自然四、收敛数列的性质20定理1证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.无界数列必定发散.不是充分条件.212.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.例证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.反证法假设数列收敛，则有唯一极限a存在.但却发散.223.保号性定理3如果且证由定义,对有从而推论如果数列从某项起有且那么用反证法234数列的极限收敛于a.数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列例试证数列不收敛.证因为的奇子数列不收敛.收敛于而偶子数列所以数列收敛于L,1,1,1---24由此性质可知

18、,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明:25数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小结数列的极限