《高数相关》PPT课件

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1、§5.3二阶ODE§5.3.1可降阶的二阶ODE§5.3.2二阶线性ODE解的结构§5.3.3二阶常系数齐次线性ODE§5.3.3二阶常系数非齐次线性ODESlide1(of65)§5.3.1可降阶的二阶ODE一、型，推广至三、型二、型Slide2(of65)解法：逐次积分特点：右端仅含有自变量x一、型n次即可得到含n个任意常数的通解……Slide3(of65)解：逐次积分例1求的通解Slide4(of65)解法：通过代换将方程降阶为一阶ODE特点：右端不显含y二、型积分便可得原方程的通解为设通解为则Slide5(of65)解(1)令例2求下列方程的通解则解得

2、则(2)令则解得则Slide6(of65)解法：通过代换将方程降阶为关于中间变量y的一阶ODE特点：右端不显含x三、型分离变量后再积分便可得原方程的通解为则原方程化为设通解为Slide7(of65)例3求下列方程的通解Slide8(of65)练习题Slide9(of65)练习题答案Slide10(of65)§5.3二阶ODE§5.3.1可降阶的二阶ODE§5.3.2二阶线性ODE解的结构§5.3.3二阶常系数线性齐次ODE§5.3.3二阶常系数线性非齐次ODESlide11(of65)二阶线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程定义：一个n阶OD

3、E，如果其中的未知函数及其各阶导数都是一次(线性)的，则称为n阶线性微分方程§5.3.2二阶线性ODE解的结构Slide12(of65)物体自由振动的微分方程强迫振动的方程RLC串联电路的振荡方程一、概念的引入Slide13(of65)二、二阶线性ODE解的结构1.二阶齐次ODE解的结构:问题:（解的叠加性）Slide14(of65)例如线性无关线性相关Slide15(of65)特别地:例如Slide16(of65)2.二阶非齐次线性ODE解的结构:Slide17(of65)解的叠加原理Slide18(of65)※三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无

4、关特解------降阶法代入(1)式,得则有Slide19(of65)解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程Slide20(of65)2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)Slide21(of65)(5)(4),(5)联立方程组Slide22(of65)积分可得非齐次方程通解为Slide23(of65)解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例Slide24(of65)设原方程的通解为解得原方程的通解为Slide25(of65)四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；※降阶法

5、与常数变易法；※补充内容可观察出一个特解作业5.3：1偶遗留问题没有求齐次线性ODE特解的通用方法。Slide26(of65)练习题Slide27(of65)Slide28(of65)练习题答案Slide29(of65)§5.3二阶ODE§5.3.1可降阶的二阶ODE§5.3.2二阶线性ODE解的结构§5.3.3二阶常系数线性齐次ODE§5.3.3二阶常系数线性非齐次ODESlide30(of65)一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式§5.3.3二阶常系数线性齐次ODESlide31(of6

6、5)二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根Slide32(of65)(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为Slide33(of65)(2)有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为Slide34(of65)(3)有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为Slide35(of65)定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.(1)写出特征方程(3)根据特征根的不同情况写出通解的相应形式(2)求出特征方程的两个特征根用特征方程法求解的一般步骤:Sl

7、ide36(of65)解特征方程为解得故所求通解为例1Slide37(of65)解特征方程为解得故所求通解为例2Slide38(of65)例4求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使都是它的解。Slide39(of65)三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项Slide40(of65)注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.Slide41(of65)特征根为故所求通解为解特征方程为例3Slide42(of65)四、小结二阶常系数齐次ODE求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程:（2

8、）求出特征根r1,r2;（3）根据特征