《高数二期末复习》PPT课件

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1、第十章线面积分1、计算对弧长的曲线积分（参数方程）上页下页返回结束2、金属曲线的质量（包括对称性的应用）3、用格林公式计算对坐标的曲线积分（补线）5、计算对面积的曲面积分4、全微分方程的充要条件（选择题）6、利用Gauss公式计算对坐标的闭曲面积分一.第一类曲线积分的计算1、对于曲线2、对于曲线3、对于曲线上页下页返回结束例1.设均匀螺旋形弹簧L的参数方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解设其密度为ρ(常数).(2)L的质量而(1)上页下页返回结束故重心坐标为上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理1、在

2、有向光滑弧L上连续,L的参数方程为则曲线积分存在，且特殊情形上页下页返回结束对空间光滑曲线弧:上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L，以弧长为参数的参数方程为已知L的切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系上页下页返回结束定理2.设区域D由分段光滑正向曲线L围成,则格林公式在D上具有连续一阶偏导数,或四、格林公式间的联系.格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之上页下页返回结束证明略推论正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积上页下页返回结束例2.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).

3、解为应用格林公式,添加辅助线它与L所围原式圆周区域为D,于是上页下页返回结束GyxoBA如果在区域G内恒有五、曲线积分与路径无关的条件注曲线积分与路径无关时,可记为上页下页返回结束则称曲线积分在G内与路径无关，否则称曲线积分与路径有关.定理3.设G是单连通域,在G内具有一阶连续偏导数,(2)沿G中任意光滑闭曲线L,(1)在G中，曲线积分(4)(3)在G内每一点，都有与路径无关.以下四个条件等价:在G内是某一函数的全微分,即Pdx+Qdy的原函数上页下页返回结束例3.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解一令则表明积分与路径无关

4、,故a为半径的上半圆周.上页下页返回结束解二它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段上页下页返回结束例4.验证是某函数的全微分,并求一个这样的函数.证设则表明存在函数u(x,y)使得。。上页下页返回结束例5.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证令则因此存在原函数上页下页返回结束计算其中L为上半圆周提示:逆时针方向.练习1.上页下页返回结束定理4.设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且六、对面积的曲面积分计算则曲

5、面积分证明略上页下页返回结束类似地，如果曲面为上页下页返回结束对面积的曲面积分二重积分第一步：求出曲面在坐标面上的投影区域第二步：求出曲面的面积元素：第三步：化为二重积分并计算.，则如果曲面为则例6解计算òòS++dszyx)(,其中S为平面5=+zy被柱面2522=+yx所截得部分.积分曲面S：yz-=5,投影域：}25

6、),{(22£+=yxyxDxy上页下页返回结束例7.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解上页下页返回结束七、对坐标的曲面积分的计算定理5设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则上页下页返回结束•若则•

7、若则前正后负右正左负注如果积分曲面取下侧,则上页下页返回结束解把分为上下两部分根据对称性思考下述解法是否正确:例8.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.上页下页返回结束上页下页返回结束九、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画上页下页返回结束令向量形式(A在n上的投影)上页下页返回结束例9.计算曲面积分其中解利用两类曲面积分的联系,∴原式=为旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.上页下页返回结束原式=上页下页返回结束十、Gauss公式高斯公式设空间闭区域W由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数)

8、,,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在W上具有一阶连续偏导数,则òòòòòåW++=¶¶+¶¶+¶¶RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(òòòòòåWg+b+a=¶¶+¶¶+¶¶或这里å是W的整个边界曲面的外侧，gbacos,cos,cos是å上点),,(zyx处外法向量的方向余弦.上页下页返回结束例10.设为曲面上侧,求解作取下侧的辅助曲面用柱坐标用极坐标上页下页返回结束解计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(-+-òòS其中Σ为柱面12

9、2=+yx及平面3,0==zz所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧.,yxR-=,0Q=,)(xzyP-=练习2.上页下页返回结束思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?使用Guass公式时应注意:1.RQP,,是对哪一个变量求