资源描述：
《2019年 同济三版高数期末复习ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题课一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根(i):有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次
2、方程的通解为特征根为(ii):有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为(iii)有一对共轭复根重新组合，目的是消去虚部得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得故原方程的通解为由即例6解（１）
3、由题设可得：解此方程组，得（２） 原方程为由解的结构定理得方程的通解为第七章：向量代数空间几何定义一、两向量的数量积数量积也称为“点积”、“内积”.设数量积的坐标表达式1：数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为2:两向量夹角余弦的坐标表示式解证定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.二、两向量的向量积1:向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：设向量积的坐标表达式2:向量积的坐标表达式解解例5解如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征
4、：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有三、平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量已知点解取所求平面方程为化简得取法向量化简得所求平面方程为解由平面的点法式方程平面的一般方程法向量四、平面的一般方程设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程五:平面的截距式方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.六、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式A:两
5、平面夹角余弦公式//B:两平面位置特征例6研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.解点到平面距离公式第五节:空间直线及其方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的点向式方程与参数方程直线的点向式(对称式)方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直
6、线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程解所以交点为取所求直线方程定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角或直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//解为所求夹角．第八章、多元函数微分学推广一元函数微
7、分学多元函数微分学注意:对比,区别异同1、多元函数的极限(本课程以二元函数为例讲解)定义2.设二元函数则称A为函数f(x,y)(也称为二重极限)若存在常数A,记作使得例1.设求证：证:故总有注意:若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同路径趋于不存在.例2.讨论函数函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注意:二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例2知它在(0,0)点二
8、重极限不存在.解:原式例4.求例5.求函数的连续域.解:习题是否存在？解:所以极限不存在.第二节一、偏导数概念及其计算偏导数二、高阶偏导数一、偏导数定义及其计算法定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则
