集合、函数与导数

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1、第一部分　高考专题讲解专题一　集合、函数与导数第一讲　集合与常用逻辑用语高考对集合问题主要考查两个方面：一是集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等；二是集合语言、集合思想的理解与运用．其中，集合的含义及表示是高考考查的重点，集合运算是高考考查的热点．需要注意的是集合运算常常会与求函数的定义域、值域、解不等式、求取值范围等问题联系在一起．高考对常用逻辑用语重点考查三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是四种命题的形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题．对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其

2、他的数学知识为载体，具有较强的综合性．预计2012年高考会考查集合的运算以及充分必要条件的推理判断问题．1.集合的元素具有确定性、互异性、无序性，在求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用．即在分析问题时，要看能否利用“三性”找到解题的切入点；题目解答出来后，再检验其元素是否满足“三性”．2．含参数的集合问题是本部分的一个重要考向，解题时应根据集合元素的互异性多挖掘题目中的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用．3．集合问题多与函数、方程、不等式等知识联系在一起，因此要注意不同知识

3、之间的融会贯通，要善于从函数、方程、不等式的角度去理解用描述法表示的集合，从而借助函数、方程、不等式的知识与方法去解决问题．4．在解题中要特别注意空集的特殊性，它往往导致我们在解题中出现错误，所以要善于总结空集在解题中的特殊性，避免因忽视空集而出现错误．5．在判断命题真假时，一方面可以直接写出命题对其进行判断，也可以通过命题之间的等价性进行判断，例如：原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题等价．6．要熟练掌握全称命题和特称命题的否定的写法．对于全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定是綈p：∃x0∈M，綈p(x0

4、)；而对于特称命题q：∃x0∈M，p(x0)，其否定是綈q：∀x∈M，綈p(x)．(2)要善于举出反例，在充分必要条件的推理判断中经常需要我们对一个命题的正确或错误(尤其是错误)作出判断或证明，而直接从正面论证往往不易进行，这时我们可以通过举出恰当的反例来说明一个命题是错误的，这是一个简单有效的办法．(3)当所要判断的命题与方程的根、不等式的解以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时，我们可以借助集合间的包含关系进行充分必要条件的判定．[解析]由于圆x2＋y2＝1内含于圆x2＋y2＝4，受Venn图的影响

5、，容易误选B.实际上，集合M＝{(x，y)

6、x2＋y2＝1}表示x2＋y2＝1圆周上的所有点，N＝{(x，y)

7、x2＋y2＝4}表示x2＋y2＝4圆周上的所有点，二者显然没有共同元素，故选A.[答案]A答案：C类型二　命题及命题真假的判定【例2】下列四个命题：①“若x2＋y2＝0，则实数x，y均为零”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆命题；④“末位数不为零的数不能被3整除”的逆否命题．其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②③D．③④[解析]①即“实数x，y均为

8、零，则x2＋y2＝0”成立；②即“两个三角形不相似，则面积不相等”不成立；③即“若A⊆B，则A∩B＝A”成立；④原命题不成立，逆否命题也不成立，故选B.[答案]B[点评]判断命题的真假，关键是理解和掌握有关的概念及准确记忆有关结论，尤其是在对应某知识点时要回忆相关的易错易误点，这常是命题者用来设置“陷阱”之处，望考生注意！【探究2】(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数都是偶数D．存在

9、一个能被2整除的整数不是偶数解析：全称命题的否定是特称命题，故选D.答案：D[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．[点评](1)本题还可以由p、q求得綈p、綈q，进而再求解．(2)一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈p是綈q的必要不充分条件，等价转化为q是p的必要不充分条件．【探究3】(2011·湖南)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“

10、N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A1.与集合有关的一些结论(1)A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.(2)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)若集合A＝{a1，a2，a3，…，an}，则集合A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(4)若集合A满足{a1，a2，a3，…，am}⊆A⊆{a1，a