集合与常用逻辑用语1-2命题、量词、逻辑联结词

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1、重点难点重点：①四种命题的关系及命题的否定②全称量词与存在量词使用上的区别难点：①逻辑联结词“或”、“且”的含义及命题的否定形式与否命题的区别②全称量词与存在量词的区别运用．知识归纳1．命题(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．判断为真的为真命题，判断为假的为假命题．(2)把一个命题表达为“若p，则q”的形式，则p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．2．四种命题(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论

2、恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个叫做另一个的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式及关系为：互为逆否的命题等价(同真同假)，互逆(或互否)的两个命题的真假性没有关系．3．逻辑联结词1)逻辑联结词或：若p∨q成立，则p与q至少一个成立．且：若p∧q成立，则p与q均成立．非：对一个命题

3、的否定．命题p的否定记作綈p.2)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题．3)复合命题的真假可通过下面的表来加以判定：记忆方法为：一真“或”为真，一假“且”为假．pq非pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假4．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在陈述句中表示所述事物的全体、在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫全称命题．(3)存在量词：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫存

4、在量词．用“∃”表示．(4)存在性命题：含有存在量词的命题叫存在性命题．(5)含有一个量词的命题的否定：①全称命题p：∀x∈M，p(x)；它的否定綈p：“∃x∈M，綈p(x)”是存在性命题．②存在性命题p：“∃x∈M，p(x)”；它的否定綈p：“∀x∈M，綈p(x)”是全称命题．误区警示1．已知命题p、q，写出复合命题“p或q”，“p且q”时，一定注意所写命题要符合真值表．2．“否命题”与“命题的否定”不是同一概念．“否命题”是对原命题“若p则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即非p，只是否定命题p的结论．3．注意对全称命题的否

5、定与存在性命题的否定的区别．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．4．讨论原命题的逆命题、否命题、逆否命题是在命题为“若p，则q”形式或可改写为这种形式的前提下进行的．不具备这种形式的命题讨论其逆、其否是没有意义的．故复习本章内容一定要紧扣概念．解题技巧要肯定一个全称命题是真命题，须对所有可能情形予以考察，穷尽一切可能，但要说明一个全称命题是假命题，只须举一个反例即可．[例1]给出两个命题，p：

6、x

7、＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是()A．p且qB．p或qC．綈p且qD．

8、綈p或q解析：因为x＝0时，

9、x

10、＝x，，所以命题p是假命题．又因为存在反函数的函数不一定是单调函数(如y＝)，所以命题q也是假命题，由此得綈p真，q假．故选D.答案：D点评：(1)判断命题的真假，要先区分是存在性命题还是全称命题．(2)判断一个全称命题的真假，若考察了所有可能情况皆成立时，为真命题．若存在一种情形使该命题不成立，则该命题为假命题．(3)复合命题的真假判断可根据真值表进行判断．(2010·北京市东城区)下列四个命题中的真命题为()A．∃x0∈Z,1<4x0<3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，

11、x2＋x＋2>0答案：D[例2](文)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1解析：利用含有量词的命题否定形式知选C.答案：C(理)函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)当f(x)＋2

12、a

13、－

14、

15、b

16、≤

17、a－b

18、总成立．③存在实数a，使为正整数．④有的素数是偶数．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D[例3]命题“平行四边形的对角线相等且互