微积分第三章习题解答

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1、第三章习题解答习题3-11.验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点。解：显然函数在区间上连续，在上可导，且有所以函数在区间上满足罗尔定理，则有，。2.验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的。解：函数在区间上连续，在上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有，即。3.函数与在区间上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值。解：函数与在区间上连续，在区间上可导，则满足柯西中值定理，则有，即。4.若4次方程有4个不同的实根，证明的所有根皆为实根。证明：设，的四个实根分别为，且，则函数在上满足罗尔定理的条件，

2、则在内至少存在一点，使得。这说明方程至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。1.设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。解：构造辅助函数，而满足罗尔定理的条件，所以有在，至少存在一点，即。2.试用拉格朗日中值定理证明：（1）；（2）当时，。解：（1）设，则在区间上满足拉格朗日中值定理，则有，又因为，则，。（2）设，则在区间上满足拉格朗日中值定理，则有，又因为，则，即。3.证明等式：。证明：设，则有，所以，代入，得到。8.设在上具有二阶导数，且。若。证明：至少存在一点，使得。证明：因为，在上应用罗尔定理，有，又因为，所以在上

3、应用罗尔定理，有，。9.设在上连续，在内可导，证明：在内存在点和，使得。证明：构造辅助函数，与在内满足柯西中值定理，即有，而在内满足拉格朗日中值定理，所以，即。习题3-21.用洛必达法则求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；(8);（9）；（10）；（11）；（12）；（13）;(14)解：（1）（型）；；（2）（型）；；（3）（型）；；（4）（型）；；（5）（型）；；（6）（型）；；（7）（型）；；（8）（型）；；（9）（型）；；（10）（型）；；（11）（型）；；（12）（型）；；（13）（型）；；（14）（型）；。2.验证

4、下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。（1）；（2）。解：（1）用洛必达法则求：，求不出用一般的方法：；（2）用洛必达法则求：，求不出用一般的方法：。3.设在处二阶可导，且，试确定的值使在处可导，并求，其中解：因为函数在处二阶可导，则函数在处一定连续，即有，又因为函数在处可导，所以函数在处也一定连续，即有根据导数的定义以及洛必达法则，有。习题3-31.按的幂展开多项式。解：记，则而。2.求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。解：，，，，（）3.求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式。解：，，，（）。1.求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林

5、公式。解：，而，，；。2.验证当时，按公式计算的近似值时，所产生的误差小于，并求的近似值，使误差小于。解：因为，当时，余项误差，又近似仅三项，每项取精确到0.001进行计算，三项的舍入误差为，所以用的三阶迈克劳林多项式计算的近似值，总误差为。3.利用泰勒公式求下列极限：（1）；（2）解：（1）。(2)=习题3-41.讨论函数在上的单调性。解：因为所以函数在上是单调递增的。2.求下列函数的单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）原函数的定义域为又因为，得在内，，所以函数在上单调递增。在内，，所以函数在上单调递减。在内，，所以函数在上

6、单调递增。（2）原函数的定义域为又因为，得，且在处函数不可导。在内，，所以函数在上单调增加。在内，，所以函数在上单调减少。在内，，所以函数在上单调增加。（3）原函数的定义域为又因为，得在内，，所以函数在上单调增加；在内，，所以函数在上单调减少；在内，，所以函数在上单调增加。（4）原函数的定义域为；又因为，得（舍去），；在内，，所以函数在上是单调递减的；在内，，所以函数在上是单调递增的。（5）原函数的定义域为又因为，得在内，，所以函数在上是单调递增的；在内，，所以函数在上是单调递减的；在内，，所以函数在上是单调递增的。（6）原函数的定义域为又因为，得在内，，所

7、以函数在上是单调递增的。在内，，所以函数在上是单调递减的。在内，，所以函数在上是单调递增。1.证明下列不等式：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当时，。证明：（1）构造辅助函数，因为当时，，所以函数在上单调递增，即当时，有，即。也即。（2）构造辅助函数，因为当时，，所以函数在上单调递增，即当时，有，即。也即。（3）证明：令，则，而，当，再记，有又单调增加，所以从而，单调增加，故。（4）证明：令，则，而，当时，，单调增加。故，即。4．证明方程在区间内有且只有一个实根。证明：令，因为在闭区间上连续，且。根据零点定理，在内有一零点，另一方面，对于任意

8、实数，有，所以在内单调增加，因此，曲线与轴有且只有一