随机变量及其分布习题

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1、第二、三章随机变量及其概率分布习题课离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量函数的分布内容关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概

2、念是随机变量一、随机变量的概念定义.设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:1.X的全部可能取值是互斥且完备的2.X的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量离散型随机变量定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。可表为X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，

3、或…Xx1x2…xK…Pkp1p2…pk…(1)pk0,k＝1,2,…;(2)2.分布律的性质·几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0

4、极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布（二.）泊松(Poisson)分布P(）X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)二、随机变量的分布函数定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.易知，对任意实数a,b(a

5、质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为例1设随机变量X具分布律如右表解X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例2向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=P{X≤x}当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述

6、方法？?ab连续型随机变量1.定义对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-

7、),2)求P{X(0.5,1.5)}（二）几个常用的连续型分布均匀分布若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a0的指数分布。其分布函数为正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布其中为实数，>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称；f()＝maxf(x)＝.正态分布有两个特性：(2)的大小

8、直接影响概