条件概率与统计独立性

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1、第二章作业题第二章条件概率与统计独立性§2.1条件概率，全概率公式，贝叶斯公式问题的提出：1)10张彩票有3张中彩，10个人摸彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10张彩票有3张中彩，10个人摸彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？一、条件概率定义设(Ω,F,P)是一个概率空间，事件A、B属于F，若P(B)>0，则称P(A

2、B)=P(AB)/P(B)为在B出现的条件下，A出现的条件概率.(conditionalprobability)条件概率的定义例：在肝癌

3、普查中发现，某地区的自然人群中，每十万人平均有40人患原发性肝癌，有34人甲胎球蛋白高含量，有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量，从这个地区的居民中任抽一人，用A表示他患原发性肝癌，用B表示他甲胎球蛋白高含量,已知P(A)=0.0004,P(B)=0.00034,P(AB)=0.00032,由条件概率定义可得P(B

4、A)=P(AB)/P(A)=0.00032/0.0004=0.8,P(A

5、B)=P(AB)/P(B)=0.00032/0.00034=0.9412.条件概率P(A

6、B)满足概率的三

7、条公理.由此得：P(AB

8、C)=P(A

9、C)+P(B

10、C)P(AB

11、C)；若A与B互不相容，则P(AB

12、C)=P(A

13、C)+P(B

14、C)；P(

15、B)=1P(A

16、B).条件概率是概率P(

17、B)=1;P(B

18、)1;P(A

19、)=P(A);P(A

20、A)=1.注意点(1)设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是()①P(A)

21、B)②P(A)≤P(A

22、B)③P(A)>P(A

23、B)④P(A)≥P(A

24、B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B

25、A)=0.4,则P(B)

26、=().课堂练习乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式(1)若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A

27、B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B

28、A).(2)若P(A1A2······An1)>0，则P(A1A2······An)=P(A1)P(A2

29、A1)······P(An

30、A1A2······An1)乘法公式解:罐中有b个是黑球,r个是红球.每次从罐中任取一球,观其颜色后放回,并再放入同颜色的小球c个，放入异色球d个.若A={第一,第三次取到红球,第二次取到黑球}.

31、求:P(A).设Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,则:伯利亚罐模型若事件A1,A2,······,An····是样本空间的一组分割，即，两两不交，且P(Ai)>0，则二、全概率公式例：送检的两批灯管在运输中各打碎一支。若每批十支，而且第一批中有1支次品，第二批中有2支次品。现从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品（记为B）的概率是多少？解法一：用A表示从剩下的灯管中任取一支出自第一批解法二：用A1，A2,A3,A4分别表示两批灯管所打碎的灯管情况是（次，次），（次，正），（正，次），（正，正）例

32、、某工厂有四条流水线生产同一种产品，已知四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02.出厂产品是这四条流水线产品的均匀混合。现从出厂产品中任取一件，试求该件产品为次品的概率。解：设B为“任取一件为次品”Ai为“任取一件为第i条流水线生产的产品”，i=1,2,3,4要调查“敏感性”问题中某种比例p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感

33、性”问题.敏感性问题的调查在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间

34、.全概率公式最简单的形式：注意点乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.三贝叶斯公式某工厂有四条流水线生产同一种产品，已知四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02.出厂产品是这四条流水线产品的均匀混合。现从出厂产品中任取一件，发现是次品，试求该件次品为第一条流水线产品的概率。由结果找原因贝