条件概率与独立性

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1、概率论与数理统计天津工程师范学院1第二章条件概率与独立性2§1条件概率乘法定理3(一)条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念,所考虑的是事件A已发生的条件下,事件B发生的概率.例1将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”,事件B为“两次掷出同一面”.现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.解：样本空间为S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.已知事件A已发生,知道"TT"不可能发生.4即知试验所有可能结果所成的集合就是A,A中共

2、有3个元素,其中只有HHB.于是,在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B

3、A),为另外,易知故有(5.1)5对于一般古典概型问题,若仍以P(B

4、A)记事件A已经发生的条件下B发生的概率,则关系式(5.1)仍然成立.事实上,设试验的基本事件总数为n,A所包含的基本事件数为m(m>0),AB所包含的基本事件数为k,即有6定义设A,B是两个事件,且P(A)>0,称为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.不难验证,条件概率P(

5、A)符合概率定义中的三个条件,即1,非负性:对任一事件B,有P(B

6、A)02,规

7、范性:对于必然事件S,有P(S

8、A)=1;3,可列可加性:设B1,B2,...,是两两互斥事件,7既然条件概率符合上述三个条件,故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率.例如,对于任意事件B1,B2有P(B1B2

9、A)=P(B1

10、A)+P(B2

11、A)-P(B1B2

12、A).例2一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为"第一次取到的是一等品",事件B为"第二次取到的是一等品".试求条件概率P(B

13、A).8解易知此属古典概型问题.将产品编号

14、,1,2,3号为一等品;4号为二等品.以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号,第j号产品.试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),(4,2),(4,3)},共12个基本事件组成,A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共9个基本事件组成,AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.共6个基本

15、事件组成.9按(5.2)式,得条件概率也可以直接按条件概率的含义来求P(B

16、A).我们知道,当A发生以后,试验E所有可能结果的集合就是A,A中有9个元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于B,故可得10另解1：不写出样本空间S所包含的元素11另解2已知在第一次取到的是一等品的情况下，产品的总数剩下3只，其中一等品2只。故所求的概率为：12(二)乘法定理由条件概率的定义(5.2)可得乘法定理设P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B

17、A)(5.3)上式容易推广

18、到多个事件的积事件的情况.例如,设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(A)P(B

19、A)P(C

20、AB)(5.4)一般地,设A1,A2,...,An为n个事件,n2,且P(A1A2...An-1)>0,则有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2

21、A1)...P(An-1

22、A1A2...An-2)P(An

23、A1A2...An-1)(5.5)13例3设袋中装有r只红球,t只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一,

24、二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到红球",14例4某种透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下来未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透镜第i次落下打破",以B表示事件"透镜落下三次而未打破,则15补充例题：10个考签中有4个难签。3人参加抽签（不放回）；甲先、乙次、丙最后。求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲乙都抽

25、到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲乙丙都抽到难签；（5）乙抽到难签；（6）丙抽到难签。16解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签171819§2全概率公式贝叶斯公式20定义设S为试验E的样本空间,B1,B2,...,Bn为E的一组事件,若(1)BiBj=f,ij,i,j=1,2,...,n;(2)B1B2...Bn=S,则称B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分