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1、制作者范彩云概率论与数理统计电子教案华南理工大学数学科学学院目录第一章随机事件与概率第二章条件概率与独立性第三章随机变量第四章随机向量第五章随机变量的数字特征第六章大数定理和中心极限定理第七章数理统计的基本概念第八章参数估计第九章假设检验第十章SAS统计软件简介8/15/20212概率论与数理统计第二章条件概率与独立性2.1条件概率与乘法公式2.1.1条件概率一般来说，条件概率是指附加一定的条件之后计算得出的概率。从广义上说，任何概率都是条件概率，因为我们是在一定的试验之下去考虑事件的概率的。在概率论中，规定试验的那
2、些基础条件被看作是已假定不变的，如果不再加入其他条件或假定，则算出的概率就叫做“无条件概率”，就是通常所说的概率。当说到“条件概率”时，是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”。例如，掷一个骰子的实验，骰子必须为均匀的正立方体，抛掷要有足够的高度等要求，这是试验的固有规定，不是附加条件。考虑三个事件:A=｛掷出素数点｝，B=｛掷出奇数点｝，C=｛掷出偶数点｝，有8/15/20213概率论与数理统计第二章条件概率与独立性A=｛2,3,5｝,B=｛1,3,5｝,C=｛2,4,6｝（2-1）于是算出A的(无条
3、件)概率为3/6=1/2。现若附加上“已知B发生”，则可能情况只有三种:1,3,5;其中使A发生的情况有两种，故在这条件下，A的条件概率，记为P(A
4、B)，等于2/3。同样，在给定事件C发生的条件下，A的条件概率为P（A
5、C）=1/3。下面在古典概率的模式下分析一般的情况。设一试验有N个等可能结果，事件A、B分别包含其M1和M2个结果，它们有M12个结果是公共的，这就是事件AB所包含的试验结果数。若已知B发生，则我们的考虑由起先的N个可能结果局限到现在的M2个，8/15/20214概率论与数理统计第二章条件概率与独立
6、性其中只有M12个结果使事件A发生，故一个合理的条件概率定义，应把P（A
7、B）取为M12／M2，（M12／M2）=（M12／N)／(M2／N)=P(AB)/P（B）例如，在第1章的例1-1中，N=54，记A=｛取到黑桃｝，B=｛取到K｝，则A包含13个结果，B包含4个结果，若已知所取到的牌是K，问它是黑桃K的概率，即P(A
8、B)。这里M1=13，M2=4，M12=1，于是对于古典概型，这样理解是合情理的。并由此可得条件概率的一般定义。8/15/20215概率论与数理统计第二章条件概率与独立性定义设有两事件A、B，且P
9、（B）≠0，在给定B发生的条件下A的条件概率，记为P（A
10、B），有P（A
11、B）=P（AB）/P（B）（2-2）当P（B）=0时，式（2-2）无意义。在高等概率论中，需要考虑当P（B）=0时的定义问题，但那要牵涉到高深的数学知识，超出了本书的范围。在以后的章节中我们也会遇到类似的情况，可以用极限的方法去处理。8/15/20216概率论与数理统计第二章条件概率与独立性2.1.2乘法公式事件的运算有加法运算和乘法运算。关于事件相加的概率计算，已有加法公式。下面介绍事件相乘时，其概率计算的公式。先看例2-1。例2-1一个盒子
12、中有4只坏晶体管和6只好晶体管，在其中任取两次，每次取一只，第一次取出的不放回，若已经发现第一只是好的，求第二只也是好的的概率。解设Ai=｛第i只是好的｝,(i=1，2)，那么题目所要求的概率为P（A2
13、A1）。方法一先求P（A1）和P（A1A2）。基本事件的总数为，A1包含6×9个基本事件，因为A1是第一只从6只好的中取得，而第二只从剩下的9只中取得。于是8/15/20217概率论与数理统计第二章条件概率与独立性A1A2包含个基本事件，于是因此，方法二在取出的第一只是好的条件下，盒子里还剩下9只晶体管，其中5只是好
14、的，求再取1只也是好的的概率，由等可能性可直接得到。即根据条件概率的定义，可得P（AB）=P（B）P（A
15、B）同样，可定义P（B
16、A），从而得到P（AB）=P（A）P（B
17、A）8/15/20218概率论与数理统计第二章条件概率与独立性由此可得以下的定理。定理1若对于任意两事件A、B，都有P(A)>0，P(B)>0，则P（AB）=P（A）P（B
18、A）=P（B）P（A
19、B）这个公式称为乘法定理。乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形。定理2设A1，A2，…，An为任意n个事件，n≥2，且P（A1A2…An-1）>0，则
20、有P(A1A2…An）=P（A1）P（A2
21、A1）P（A3
22、A1A2）…P（An
23、A1A2…An-1）证当P（A1A2…An-1）>0时，由于P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)>0根据条件概率的定义，得8/15/20219概率论与数理统计第二章条件概率与独立性证毕。顺便指出，当P（A1A2…An-1）=0时，可知P（A1A
