《课件82偏导数》PPT课件

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1、第二节偏导数一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数一、偏导数定义及其计算法研究二元函数关于一个变量的变化率问题.定义在点存在,的偏导数，记为的某则称此极限为函数邻域内极限设函数同样可定义对y的偏导数：还可记为例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.对x的偏导数定义为(请自己写出)若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为对x或y偏导数存在,的偏导数，因此等于偏导函数在点的值.注意:求偏导数实际上是把其

2、余自变量看作常数而对一个变量求导数,即一元函数求导数.例1求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.例2设证求证例3求的偏导数.解由对称性得二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处对x轴的斜率.在点M0处的切线对y轴的斜率.是曲线的切线函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!二、高阶偏导数若z=f(x,y)在域D内的偏导（函）数仍存在偏导数，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定

3、义更高阶的偏导数.例如z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例4求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及则定理说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.而初等函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,(证明略)例5证明函数证利用对称性,有满足拉普拉斯方程证:令则则机动目录上页下页返回结束定理.令同样在点连续,得机动目录上页下页返回结束一、偏导数的概念及有关结

4、论1.定义:2.函数在一点偏导数存在函数在此点连续3.混合偏导数连续与求导顺序无关小结几何意义：偏增量比的极限二、偏导数的计算方法1.求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义2.求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)对一个变量求导数,把其余变量暂时看作常数.思考题思考题解答不能.例如,作业1.（4）,（6）,（8）；3；4;5；6（3）；7；9（2）P.18习题8－2思考与练习解答提示:P73题5P73题5,6即x＝y＝0时,机动目录上页下页返回结束P73题6(1

5、)(2)机动目录上页下页返回结束