[理学]82 偏导数

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1、8.2偏导数PartialDerivatives一、偏导数的定义与计算二元函数的偏导数（关于x的偏增量）f(x,y)对自变量x的偏导数二元函数的偏导数（关于y的偏增量）f(x,y)对自变量y的偏导数偏导函数：求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数！要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量，对自变量x求导数即可求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量x暂时看成不变的常量，对自变量y求导数即可例1解例3设求证解幂函数求导公式指数函数求导公式所以例4求以下函数的偏导数解同理（由对称性）利用

2、对称性求偏导数的一个小窍门：《学习手册》212页证P:压力，T：温度，V：容积等温条件下，压力关于容积的变化率等容条件下，温度关于压力的变化率等压条件下，容积关于温度的变化率不像导数记号可以视为dy与dx之商以上等式说明是一个整体记号偏导数的几何意义表示函数z=f(x,y)在点M0(x0,y0)处沿x轴方向的变化率（倾斜度）偏导数fx(x0,y0)是曲线在点x=x0处的切线的斜率：偏导数的几何意义在点(x0,y0)偏导数（切线）依然存在但是在点(x0,y0)函数已经不连续将两条曲线上移考察：偏导数与连续性的

3、关系多元函数：偏导数存在函数连续或有极限经典反例求f(x,y)在原点(0,0)的偏导数解同理p.16几何解释：在x轴上，所以，常数但是，二重极限不存在所以，f(x,y)在(0,0)不连续多元函数：在一点M处偏导数存在连续有极限注意比较一元函数：在一点x处导数存在连续有极限学习指导P.145问5.11多元函数：在一点M处偏导数存在连续有极限二、高阶偏导数HigherPartialDerivatives例6混合偏导数f(x,y)的四个二阶偏导数混合偏导数f(x,y)的四个二阶偏导数高阶偏导数的记号：高阶偏导数两

4、个混合偏导数相等这不是偶然的但也不是必然的定理2.4(Clairaut’sTheorem)如果和在区域D内连续则在D内：即：在连续的前提下，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序无关在不连续点处，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序可能有关，即可能有：经典反例《学习手册》212页在原点O(0,0)，课内练习求例8证明：函数满足拉普拉斯(Laplace)方程:证：其中前面曾经讲过这个例子由函数关于自变量x、y、z的对称性，利用对称性求偏导数的一个小窍门：《学习手册》212页记梯度：Hamilton算子（p.

5、182)Laplace方程：：Laplace算子（p.171）