小波变换（wavelet）实际应用中小波分解信号的物理意义

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1、实际应用中小波分解信号的物理意义研学论坛1、小波处理输入信号的物理意义根据小波多分辨理论，对于一个信号fx()，给定尺度空间V=span{j}，小波jjk,kZÎ空间W=span{y}后，信号可以写成尺度空间基函数和小波空间基函数展开表示的形jjk,kZÎ式：f()xa=åJ,,kjJk（说明信号属于VJ空间）kZÎ=+adjj(多分辨分析的表达式)åJM--,kJM,kååj,,kjkkÎZJMjJkZ-£<Î=+ffJ-MjåJMjJ-£<其中：faJ-M=åJM--,,kJjMk表示了信号在VJM-空间上的投影；kZÎjjfdj=åj,,kjjk表示了信号在WJMj

2、Jj,()-£<空间上的投影；an、dn分别kZÎ是j尺度的尺度系数和小波系数。按照Mallat分解、重构算法，具有以下的分解、重构形式jj+1jj+1分解：a=åha，d=ågd（9）nl-2nlnlnl-2llj+1jj重构：a=+ååh%agd%（10）nnl--22lnllll其中：h、g分别是分解时低通、高通滤波器系数；h%、g%分别是重构时低通、高通滤nnnn波器系数。根据上述分析我们可以看出，在实际小波分解时，给定一个信号fx()，我们应该先将它在某个尺度空间上进行基函数展开，然后将得到的a作为输入送入如下的小波滤波器组Jk,中去，每层分解滤波后经过2抽样得

3、到的是下一层的尺度系数a或者小波系数d（因Jk-1,Jk-1,为在Mallat分解重构公式中如果注意滤波器下标中的2话，它实际上已经暗示了2的抽样和插值处理，具体可以见小波书中的推导）。但是为什么我们实际中一般都是直接将信号fx()采样就送入滤波器组哪？这是因为在尺度函数j具有紧支集时，我们可以近似认为a=fk()，所以实际中我们通常将信jk,Jk,J号采样（点数满足2）送入小波小波滤波器中进行处理。注意，这样的一种处理在数学意义上并不是严格的，而是一种近似处理。2、小波分解后信号的频率关系我们说“一个0~100H的信号经过一层小波分解后可以得到0～50Hz、50~100

4、Hz两个信号。”，这样的说法只是一种笼统的解释。通常我们所说的小波分解后频率2分实际上只是一种近似的表述，首先实际中滤波器响应不可能像矩形窗的边沿那样是阶跃的，因此也就不可能做到“干净”的划分频带；其次构造小波时为了满足一些特性，基函数也一般不会是sinc形的，何况还有实际滤波器长度有限的限制。如果看一下Daubechies9/7小波分解和重构中低频、高频滤波器的频率响应曲线就可以说明问题了。FrequencyresponsesofDaubechies9/7filters1.5H01H1F0F10.5Frequencyresponsemagnitude0-1-0.8-0.

5、6-0.4-0.200.20.40.60.81Angularfrequency(normalizedbypi)3、小波边缘效应的产生简单的说边缘效应是由于我们进行滤波时候，当要产生下一层的尺度系数或者小波系数时需要知道若干个上一层尺度系数的值，如果其中一个系数没有定义，则分解就无法进行下去。这个有点像信号处理滤波的边缘效应：当一个采样到来时，滤波器的输出需要知道第一个采样之前若干采样的值（有滤波器长度决定个数），通常我们按照补零处理的，只不过小波的更加复杂。以D-4小波为例说明边界延拓的必要性。设输入的点数为s,s,L,s，Mallat分解01n-1（算法本质上是对输入信

6、号实现低通L与高通H的滤波运算j-1j1jjjja=D(l*a)=(ha+ha+ha+ha),(4.34)kk02k12k+122k+232k+32j-1j1jjjjd=D(g*a)=(ha-ha+ha-ha),(4.35)kk32k22k+112k+202k+32为了计算每一个第j-1层的分量，需要具有连续下标组成的四个第j层的信息，例如，当22n=8时输入的点数为s,,,ssL，a的计算需要s到s，而a的计算需要s到s，但017247369是s没有定义，因此，必须实行延拓保证分解过程的进行。9设处理的数据长度为M，取值范围为[0,M-1]，一般说来，数据的边界延拓方式

7、总结起来主要有5种。（1）补零，即x=,0n<0,n>M-1，n（2）周期延拓ìxn=xn+M,n<0íîxn=xn-M,nM-1,1（当高、低通滤波器长度为偶数，对称轴）2ìxn=x-n-1,n<0í（4.37）îxn=x2M-n-1,n>M-1,（b）重构时的延拓方式：当高、低通滤波器