小波变换与信号的分解重构

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1、小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波1、傅立叶变换的基本思想：将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信号从时间域转换到频率域。（1.1）S1.傅立叶变换与小波2、傅立叶变换的缺点：1）丢掉时间信息，无法对某一时间段对应的频域信息或者某一频率段对应的时间信息进行分析；2）不利于分析非平稳信号，例如偏移、趋势、突变等等。——需要寻求一种同时具有时间分辨率和频域分辨率的分析方法。S1.傅立叶变换与小波为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（STFT）或加窗傅里叶变换（

2、WFT）、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅里叶变换（FractionalFourierTransform）、线调频小波变换等。S1.傅立叶变换与小波——1946Gabor变换——短时傅立叶变换（STFT）1）基本思想：对信号加窗，对窗内的信号进行傅立叶变换，反映信号的局部特征；2）缺点：其窗口函数通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。S1.傅立叶变换与小波Gabor变换及其应用示例Gabor变换是海森伯（Heisenberg）测不准原理下的最优的短时傅立叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时

3、追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor变换。S1.傅立叶变换与小波Gabor变换应用示例（1）高斯窗函数（2）信号函数S1.傅立叶变换与小波（3）平移后的高斯窗函数（4）归一化（5）Gabor变换S1.傅立叶变换与小波Gabor变换的主要程序代码：shift-l=100;%高斯窗每次平移点数shift-n=(length(t)-1)/shift_l;%高斯窗平移总次数y2=zeros(shift_n,2001);fork=0:shift_n-1gauss-c=2^(1/4)*exp(-pi*

4、(t-k*shift-l*Ts).^2).*cos(5*pi*t);%平移后的高斯函数gaussc2=gaussc/sum(gaussc.^2);%归一化y1=conv(hilbert(fx),gaussc2);%短时傅立叶变换，即对信号和Gauss函数做卷积y2(k+1,:)=y1;endS1.傅立叶变换与小波程序运行结果：S1.傅立叶变换与小波Gabor变换的幅频图S1.傅立叶变换与小波Gabor变换的等高线图S1.傅立叶变换与小波3、小波变换窗口大小（即面积）不变，但窗口形状随频率高低而变化，是一种时间窗和频率窗都可改变的时频分析方

5、法，在低频有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率，对信号局部特征的表征能力强。S2.连续小波变换1、基本小波的定义S2.连续小波变换2、连续小波变换的定义S2.连续小波变换3、约束条件S2.连续小波变换4、对偶小波S2.连续小波变换5、连续小波的重要性质S2.连续小波变换6、连续小波变换的计算过程从定义式可知，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。（1）选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。（2）计算该时刻的连续小波变换系数C。如下图所示，C表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程

6、度。C愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。S2.连续小波变换6、连续小波变换的计算过程（3）如图1所示，调整参数b，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。（4）调整参数a，尺度伸缩，重复①～③步骤。（5）重复①～④步骤，计算所有的尺度的连续小波变换系数，如图2所示。图1图2S2.连续小波变换6、连续小波变换的计算过程上述步骤可用以下的公式表示。设f(t)=f(k△t),t∈(k,K+1)，

7、则（*）S2.连续小波变换Matlab实现连续小波变换的代码precis=10;%小波函数积分精度控制signal=signal(:)';len=length(signal);coefs=zeros(length(scales),len);nbscales=length(scales);[psi_integ,xval]=intwave(wname,precis);%计算从-∞到k的小波积分序列wtype=wavemngr('type',wname);ifwtype==5psi_integ=conj(psi_integ);end%判断是否为

8、复小波，对复小波取共轭xval=xval-xval(1);dx=xval(2);xmax=xval(end);ind=1;fork=1:nbscales%循环计算各尺度的小波系数a=scale