基于小波变换的信号重构

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1、1998年4月西安电子科技大学学报Apr.1998第25卷第2期JOURNALOFXIDIANUNIVERSITYVol.25No.2
基于小波变换的信号重构周建勇宋国乡(西安电子科技大学应用数学系西安710071)摘要在信号分析中,奇异点和不规则性经常携带有重要的信息.文中利用小波变换模极大值对应的点来提取奇异点,并讨论了如何运用凸集上投影的方法来重构原始信号.关键词小波变换模极大值投影中图分类号PH117.11二进小波变换设基小波
(t)满足下面的容许性条件:+∞
2
(w)C
=∫dw<+∞

2、.(1)-∞w2在实际应用中,函数f∈L(R)的小波变换为1x-tWf(s,x)=Wfs(x)=f*
s(x)=f(t)
dt,(2)s∫Rs1x其中
s(x)=
.ss在大多数情况下,小波模型不需要使用连续的尺度s,为使小波变换能够快速数字化实现,假定尺度s在j序列{2}j∈Z上取值,这就产生了二进小波变换.21定义1函数
∈L∩L被称为是一个二进小波,若存在两个常数A和B,且0

3、}k∈Z称为f的二进小波变换,其中1x-tWkk2f(x)=f*
2(x)=k∫f(t)
kdt.(4)2R2实际上,二进小波变换不仅是完全的,而且是冗余的.即函数f(x)可由它的二进小波变换重构,但任意22序列{gj(x)}j∈Z
I(L)不一定是某函数的二进小波变换.在数字信号处理中,通常用到的是离散的二进小波变换,下面引进数字信号{dn}n∈Z的离散二进小波变换的定义:2定义2设{dn}n∈Z∈l,f为满足条件f*(n)=dn的函数,其中满足+∞
2
j
j(w)=∑
(2W)(2W)

4、,(5)j=1d则称{Wjj2f(n)}n∈Z=W2f,f∈(1,∞)为{dn}n∈Z的离散二进小波变换.事实上可以证明这里的f是2存在的,因此可对任意{dn}n∈Z∈l作离散二进小波变换.
电科院基金资助.收稿日期:1997—10—07224西安电子科技大学学报第25卷2奇异点(边缘)的刻划及提取在实际应用中,常用二进小波变换模的极大值来大致分析函数的局部奇异性.下面给出几个定义:定义3在尺度s0下,称点(s0,x0)是局部极值点,若Wf(s0,x)/x在x=x0上有一过零点.定义4称(s0

5、,x0)为模极大值点,若对属于x0的某一邻域内的任意点x,有Wf(s0,x)≤Wf(s0,x0).定义5称尺度空间{(s,x),s>0,x∈R}中的某一条曲线!为小波变换模极大值线,若(s,x!)∈!,x!是在尺度S下的小波变换模极大值点.可以证明信号的奇异点及在该点的奇异性大小可以由信号的二进小波变换在该点的值随尺度变换[1]的趋势而测定.而当尺度参数趋于零时,奇异点所对应的小波变换值将是局部极大值,所以寻找小波[1]变换的模的极大值线能估计函数的所有奇异点的位置.由于多尺度边缘包含了信号和图像

6、的重要信息,因此有可能用这些边缘信息来表征原始信号和图像.大多数信号的多尺度边缘提取是通过在各个尺度上平滑该信号并由平滑后信号的一阶或二阶微商+∞值检测信号的突变点而获得的.∀(x)称为平滑函数,当∫∀(x)dx=1且在无穷远外∀(x)=0.例如-∞Gaussian函数即为一平滑函数.设∀(x)是二阶可微的,并定义它的一阶和二阶微商为ad∀(x)
(x)=dx2.(6)bd∀(x)
(x)=2dx+∞+∞abab由∀(x)的定义知,∫
(x)dx=0,
(x)dx=0,因此
(x)和
(x)可考虑

7、作为小波函数,则在-∞∫-∞ab尺度s和点x处f(x)的小波变换为(分别用
(x)和
(x)作为小波函数)aaWsf(x)=f*
s(x),(7)bbWsf(x)=f*
s(x)进一步可导出ad∀sdWsf(x)=f*s(x)=s(f*∀s)(x)dxdx.(8)22b2d∀s2dWsf(x)=f*s2(x)=s2(f*∀s)(x)dxdxaba上式亦说明小波变换Wsf(x)和Wsf(x)分别是尺度s上已平滑信号的一阶和二阶导数,Wsf(x)的局b部极值点对应于Wsf(x)的零值点和f*∀s(x)

8、的拐点.特别地当∀(x)为Gaussian函数时,极大值检测相当于Canny边缘检测.3信号的重建在许多信号重构和恢复问题上,在凸集上投影的方法已被广泛应用,此方法的主要思想是提供符合所有有用信息的解.在这个方法中,所有信号的集假设为有对应范数的Hilbert空间.设有用信号信息M的集为Cm(m=1,2,⋯,M),则重构信号须满足所有Cm的约束条件,它必须是在C0=∩Cm的这个交m=1集里.C0集中任一元素称为一可行解.如果所有的集Cm是闭的且凸的,由凸逼近理论知:一可行解可通过在