小波变换在信号处理中的应用

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1、小波变换在信号处理中的应用小波变换在信号处理中的应用Page�1一.小波变换应用于噪声抑制：�利用Mallet算法对输入信号f(t)进行小波分解，再根据对信号和噪声的先验知识分离信号和噪声。提过滤波形成新的小波分量，最后重建信号。www.zuanshibaijiale.comPage�2f(t)=S(t)+N(t)W(f)=W(S)+W(N)ψψψ小波分解滤波重建信号Page�3信号与噪声被小波变换分离：Page�4Donoho去噪方法：Page�5不同阀值选取算法的去噪结果：Page�6研究重点：�信号与噪声在小波变换域上的特征。�小波基的选择。�阈

2、值的选取方法。Page�7二.小波变换应用于信号检测：�瞬时信号检测问题。在噪声中检测短时，非平稳，波形和到达时间未知的信号。H:x(t)=n(t)0H:x(t)=S(t)+n(t)t∈[0,T]1其中：S(t)只在[t,t+T]非零。000n(t)为噪声。T<j,kj,k可以得到:t(1)

3、c

4、在k=i两边呈指数衰减，

5、且达到局部极值。j,kj2(2)由于小波变换得多尺度特性，我们可以选择不同的j，利用不同的时域和频域分辨力，了解信号的的全貌，从而使基于小波变换的信号检测器具有较好的鲁棒性。(3)若在观测时间内，有多个信号到达，我们可以选择适当的j，使时间尺度尽可能的小，从而使不同信号的峰值出现在不同的k上，由此分离信号。Page�11方法：对输入信号进行多尺度的小波变换，检测其变换结果的局部极值点。性能：优于能量检测器，接近与匹配滤波器。Page�12小波变换应用于信号分析（信号的奇异性分析）若f(t)在某处间断或某阶导数不连续，则称f(t)在此点有奇异性。Foui

6、er变换可以分析函数的整体的奇异性，但不能推断奇异点的空间（时间）分布情况。Page�13定义：设n≤α

7、h

8、0≤h

9、0<α<1,则：f(x)在[a+ε,b−ε]具有一致Lipschitz指数的充要条件是：存在常数A，使：α

10、W(f)(x,s)

11、≤Asx∈[a,b]Page�16定理：2设f(x)∈L,x∈[a,b],0<α<1,则：f(x)在x具有Lipschitz指数α,则：0存在常数A，使：αα

12、W(f)(x,s)

13、≤A(s−

14、x−x

15、)0x属于x的某个邻域.0反过来，若α1.

16、W(f)(x,s)

17、≤As0αα

18、x−x0

19、2.

20、W(f)(x,s)

21、≤B(s+)0

22、log

23、x−x

24、

25、0则f(x)在x具有Lipschitz指数α0Page�17奇异性分析的方法：�光

26、滑函数。一个实函数θ(X),满足：＋∞∫θ(X)dx=1－∞limθ(X)=0x→±∞例如，可取为高斯函数或B_样条函数。Page�181dθ(x)定义：ψ(x)=dx1W1(f)(x,s)=f∗ψ(x)ψdθs=f∗(s)(x)dxdf∗θs=s(x)dxPage�1922dθ(x)定义：ψ(x)=2dx2W2(f)(x,s)=f∗ψ(x)ψ22dθs=f∗(s)(x)2dx2d(f∗θ)s=s(x)2dxPage�20从而，W1(f)(x,s)的局部极值点⇔ψf∗θ(x)的拐点⇔W2(f)(x,s)的零点。ψPage�21Page�22关于f(x)

27、的高阶奇异性的检测：�定义：若基小波ψ(x)满足：对0≤l≤M＋∞l∫xψ(x)dx=0－∞则称小波ψ(x)具有M阶消失矩。Page�23定理：设ψ是紧支集的基小波，且具有M阶消失矩和M阶1连续可微。设f∈L，若存在某个s，使得∀s>s,00

28、W(f)(x,s)

29、在[a,b]无局部极大值，则：ψMf(x)∈C[a+ε,b−ε]Page�24注：�定理的实际应用是反过来的。即：如果f(x)的M阶导数在某点有奇异性（不连续）则它的具有M阶消失矩的小波系数

30、W(f)(x,s)

31、存ψ在局部极值点。M阶消失矩的信号输入局部极值检测小波变换Page�25其他应用：

32、�模最大值重建问题。�图像边缘提取。�语音信号处理。（语音清，浊音分割，基音周期检测）�地震波