排列、组合及其应用

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1、排列、组合及其应用排列与排列数组合与组合数定义1.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.1.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.按照一定的顺序排成一列合成一组排列与排列数组合与组合数定义2.排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.2.组

2、合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.所有不同排列的个数所有不同组合的个数n！1如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？【提示】区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.1．从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A．9个B．24个C．36个D．54个【答案

3、】D2．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．60种B．70种C．80种D．120种【答案】D3．把3盆不同的兰花和4盆不同的一玫瑰花摆放在右图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为()A．2680种B．4320种C．4920种D．5140种【答案】B4．如图，湖中有四个小岛，要在这四个小岛间建三座小桥，使游人可以到达每个小岛，则不同的建法有________种．【答案】165．从1,2

4、,3,4,5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，若三个数字中有2和3，则2排在3的前面，这样的三位数共有________个．【解析】间接法，组成的三位数减去2排在3后面的情况，即A35－9＝51.【答案】51【思路点拨】利用排列数和组合数的公式及意义求解，(2)中注意n的取值范围．(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．【思路点拨】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可．但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见

5、类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法．求排列应用题的主要方法有：(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置．(3)排列、组合混合问题先选后排的方法．(4)相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(5)不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(6)分排问题直排处理的方法．(7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．

6、(8)定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．(9)正难则反，等价转化的方法．1．由四个不同数字，1,2,4，x组成无重复数字的三位数．(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？(3)若x＝0，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些三位数的各位数字之总和是252，求x.(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．【思路点拨】(1)(2)属于组合问题，可用直接法；(3

7、)(4)属于组合问题可用间接法；(5)属于先选后排问题应分步完成．组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2．某旅游团要从8个风景点中选出两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有

8、多少种？(1)甲、乙两个风景点至少选一个；(2)甲、乙两个风景点至多选一个；(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【思路点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清