排列组合应用(二)

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1、排列组合应用（二） 　　●教学目标　　(一)教学知识点　　排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法．　　(二)能力训练要求　　1．能够判断所研究问题是否是排列或组合问题．　　2．进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能．　　3．熟练应用排列组合问题常见解题方法．　　4．进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力．　　(三)德育渗透目标　　1．用联系的观点看问题．　　2．认识事物在一定条件下的相互转化．　　3．解决问题时能抓住问题的本质． 　　●教学重点　　排列数、组合数公式应用． 　　●教学难点　　解题思路的分析． 　　●教学方

2、法　　启发式、引导式　　启发学生认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，引导学生注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要求学生注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力． 　　●教具准备　　投影片　　第一张：排列数、组合数公式(记作§10．3．4A)　　第二张：本节例题(记作§10．3．4B)　　第三张：补充练习题(记作§10．3．4C) 　　●教学过程 　　Ⅰ．复习回顾　　［师］上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题，逐步熟悉了排列数与组合数公式，并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法

3、．下面，我们作一简要回顾．　　［生甲］排列数公式：　　A＝　　组合数公式：　　C＝　　［生乙］相邻问题常用捆绑法；不相邻问题常用插空法．　　［师］这一节，我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用，并关注转化思想在解题中的应用． 　　Ⅱ．讲授新课　　［例1］平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条．　　(1)这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？　　(2)这11个点构成几个三角形？　　分析：若平面上11点中任意两点有一条不同直线，则共有C＝＝55．故直线总条数减少了55-48＝7条．而每增加一组3

4、点共线直线总条数减少C-1＝2条，每增加一组4点共线，直线总条数减少C-1＝5条…，故此题第(1)问是考虑7被2与5分解的不同方式．第(2)问则可以采用分类的思想求解．　　解：(1)若任三点不共线，则所有直线的总条数为C＝＝55条；　　每增加一组三点共线，连成直线就将减少C-1＝2条；　　每增加一组四点共线，连成直线就将减少C-1＝5条；　　每增加一组五点共线，连成直线就将减少C-1＝9条．　　∴　55-48＝7＝2＋5　　故含有3个点、4个点的直线各1条．　　(2)若任意三点不共线，则11个点可构成三角形个数为C＝＝165(个

5、)　　每增加一组三点共线三角形个数减少1个，每增加一组四点共线三角形个数减少C个，故所求不同三角形个数为C-(1＋C)＝160个．　　评述：第(2)问采用逆向思考方法，即考虑总体除去减少的三角形，思路清晰，若直接求解，则情形较多，要求学生注意“正难则反”的解题思想应用．　　［例2］如图，直线l1与l2相交于点P，除点P外，在直线l1上还有A1，A2，A3，A4四点，在直线l2上还有B1，B2，B3，B4，B5五点．　　若在A1，A2，A3，A4这四点中任取一点与B1，B2，B3，B4，B5这五点中各取一点连成一条直线，问交点个数

6、最多有几个？　　［师］大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法．　　［生甲］连接A1B2，则A2B1，A3B1，A4B1分别与A1B2各有一交点，共有3个交点，再考虑各点与B2连接后交点的增加情况……　　［生乙］我也按照甲同学的思路考虑，但情形较为复杂，不易确定所求．　　［生丙］为了避免遗漏和重复，根据四边形对角线交点唯一，可以考虑构成不同四边形个数的多少．可分两步完成：第一步，从l1上A1～A4四点中任取两点，有C种不同取法；第二步：从l2上B1～B5五点中任取两点，共有C种不同取法．　　根据分步计数原理共有C·C种不同取法，而

7、每种取法对应不同的四边形，四边形的对角线有唯一交点，故所求最多交点个数为CC个．　　［师］接下来，我们根据丙同学的思路共同写出解答过程．　　解：若各点连线交点不重合，则交点最多．共分两步：　　第一步：从l1上A1～A4四点中取两点，有C种不同取法；　　第二步：从l2上B1～B5五点中任取两点，有C种不同取法；　　根据分步计数原理共有C·C＝60(种)不同取法．　　而每种取法对应不同的四边形，四边形对角线有唯一交点，　　故所求最多交点个数为60个．　　评述：此题关键是将求交点个数问题转化为四边形对角线交点问题，使解题思路豁然开朗，

8、要求学生加以体会．　　［师］下面我们再做一道相关性练习．　　已知空间有8个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，若两条异面直线称为“一对”异面直线，问共有多少对不同的异面直线？　　［师］此题可考虑构造含有异面直线的几何体，联系例2的解法求解．　　［生丁］因为在