第五章引力场方程

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1、第五章引力场方程爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并且告诉我们只要知道表示时空几何的度规，就能计算物体如何在弯曲的时空中运动.引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决定.等效原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度规.解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体.等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核心部分.5.1曲率张量和爱因斯坦张量为什么要引入曲率张量在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程r2U=4¼G½:(5.1)方程

2、的右边是质量密度½.它在广义相对论中的对应体是能量动量张量T¹º.方程的左边是牛顿引力势U的2阶偏导数的组合.在x3.2中说到克氏符号的物理意义相当于引力或惯性力，克氏符号是度规张量的1阶偏导数的线性组合，可以猜测度规g¹º相当于牛顿力学中的引力势.广义相对论的引力场方程应当是从物质T¹º决定度规g的偏微分方程.建立引力场方程需要1个由度规的偏导数组成的张量.等效原理意¹º味着引力可以局部地去除，所以克氏符号不可能是张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.从另一个角度讲，迄今为止我们还不知道如何来判断

3、时空的弯曲.度规张量当然代表时空的几何，由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直.度规的1阶偏导数组成的克氏符号不是张量，也不能用作判断的根据，那么只有用度规的2阶偏导数组成的张量来判断.这正是本节要建立的曲率张量.曲率张量的定义到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些办法：(1)看向量平行移动的结果是否与路径有关.关于这一点在x4.2中已有比较详尽的讨论.(2)由3条测地线组成的三角形的内角和是否等于¼.一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于¼.(3)协变导数

4、是否与¹¹次序有关，亦即T与T是否相等.如所周知，普通偏导数与次序无关.当然，判断时空弯曲的方法;®¯;¯®绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等.用上面给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式.经过比较繁复但并无困难的推导(见习题5.1)，对1阶张量T¹进行2次协变导数，有½T¹;®¯¡T¹;¯®=R¹®¯T½;(5.2)其中R½=¡¡½+¡½¡¡º¡½+¡º¡½:(5.3)¹®¯¹®;¯¹¯;®¹®º¯¹¯º®在书写曲率张量的指标时，需要注意½是第一指标，

5、而且是逆变指标，其它3个指标¹®¯是协变指标，在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序.½½(5.2)式的两边，除R外，都肯定是张量，所以R也是1个张量，称为黎曼曲率张量，常简¹®¯¹®¯称为曲率张量.对于全局的或1个区域内平直的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫斯基度规，在其中所有的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就是1个零张量，而且在任意的坐标系中所有的坐标分量都是零.曲率张量可以用来判断时空是否平直.12第五章引力场方程(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，

6、而且是度规2阶偏导数的线性函数.在1个时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS，所有的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零，在这个特殊的局域坐标系里，曲率张量的表达式简化为½½½R=¡¡+¡:(5.4)¹®¯¹®;¯¹¯;®曲率张量的性质曲率张量是1个4阶张量，共有256个坐标分量.然而，由于以下一些对称和反对称的性质，这些分量并不完全是独立的.下面先列出这些性质，然后再一一给出证明.这些性质用协变的曲率张量R¹º®¯来写出.下面用的关于指标的圆括号和方括号运算的定义请参见附录A.R(¹º)®¯´0;

7、(5.5)R¹º(®¯)´0;(5.6)R¹º®¯´R®¯¹º;(5.7)R¹[º®¯]´0;(5.8)R¹º[®¯;½]´0:(5.9)性质(5.5)表明曲率张量对前2个指标是反对称的，而(5.6)表明它对后2个指标也是反对称的.如果把前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)表明曲率张量对这2对指标是对称的.性质(5.8)称为Ricci恒等式而性质(5.9)是著名的Bianchi恒等式.显然，性质(5.5)，(5.6)和(5.7)是相互关联的.例如，只要证明了后2式，第1式就不证自明了.先来

8、证明性质(5.6).注意R¹º(®¯)是1个张量，为证明它是1个零张量，只需在1个特殊坐标系里证明就可以了，今后将经常采用这种方法.在LGS里，根据(5.4)式，有³´½½R¹º®¯=´¹½¡¡º®;¯+¡º¯;®:(5.10)式中´¹½和以前一样表示闵可夫斯基度规.上式对指标®和¯是反对称的，所以对这2个指标加上圆括号来取其对称部分的结果恒等于零.再来证明性质(5.7).同样选取局域测地线坐标系L