微分形式的基本方程流体力学

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1、B3.1微分形式的质量守恒方程B3.1.1流体运动的连续性原理不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。17世纪，哈维发现人体血液循环理论质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。历史上对连续性的认识古代，漏壶、水流计时16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程B3.1.1流体运动的连续性原理(2-1)B3.1.1流体运动的连续性(2-2)17世纪哈维：血液循环理论解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向流动，

2、从静脉末端到心脏也是单向流动定量测量：每小时流出心脏血液245kg大胆预言：从动脉到静脉再回心脏45年后发现：毛细血管的存在血液循环理论——流体连续性原理的胜利血液循环图B3.1.2微分形式的连续性方程x，y，z方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律单位时间单位体积内边长为,,的长方体控制体元，内x方向净流出的质量B3.1.2微分形式的连续性方程(2-1)B3.1.2微分形式的连续性方程(2-2)用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：左边代表一点邻域内流体体积的相

3、对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程[例B3.1.2]不可压缩流动连续性方程已知：不可压缩流体平面流动（C为常数）求：v解：由不可压缩流动连续性方程的二维形式可得（B3.1.11）当f(x)=0，表示位于原点的点涡流动；当f(x)=U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；讨论：本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制约的。B3.2作用在流体元上的力B3.2.1体积力和表面力1.体积力长程力穿越空间作用到流体

4、元上万有引力电磁力惯性力与流体元体积成正比体积力单位质量流体上的体积力单位体积流体上的体积力B3.2.1体积力和表面力(2-1)B3.2.1体积力和表面力(2-2)2.表面力短程力通过接触面作用压强粘性切应力与表面面积和方位有关表面力表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。n——面积元外法线单位矢－n——面积元内法线单位矢（注意：和不一定与垂直）B3.2.2重力场在直角坐标系的重力场中称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能B3.2.2重力场B3.2.3应力场1.运动粘性流体中的应力状态一点的表面

5、应力用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为B3.2.3应力场(4-1)应力矩阵作用在任意方位面元上的表面应力表面应力的分量式B3.2.3应力场(4-2)作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示B3.2.3应力场(4-3)2.静止流体中的应力状态静止流体的应力状态结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.只有法向应力无切应力B3.2.3应力场(4-4)3.应力的常用表达式运动粘性流体中的(

6、平均)压强在法向应力中把压强分离出来为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）压强矩阵偏应力矩阵应力矩阵表示为[例B3.2.3]平面线性剪切流中的应力状态已知：平面线性剪切流求：应力状态解:附加法向应力切应力讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，x,y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。法向应力（k为常数）[例B3.2.3A]刚体旋转流动:纯旋转(2-1)已知：二维不可压缩平面流场为求：试分

7、析该流场中的应力状态（k为常数）解：附加法向应力流体中任一点的法向应力为切向应力为讨论：（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场的法向应力均等于平衡压强。（2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。[例B3.2.3A]刚体旋转流动:纯旋转(2-2)B3.3微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为各面元上x方向表面应力的分量如图示。B3.3微分形式的动量方程(2-1)表面力合力dFsx由应力梯度造成x方向的体积力分量为将dFsx和dFbx代

8、入运动方程，并利用和质点导数概念，可化为同理可得上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。B3.3微分形式的动量方程(2-2)B3.4纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维；2.流体各向同性；3.静止时法向应力等于静压强。均代入粘性流体运动一般微分方程对牛顿流体（μ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程(4-1)不可压缩条件（ρ＝常数）B3.4纳维－斯托克斯方程(4-2)可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克